Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50897 / 48750
↖ ↑ ↗
← S 65.617487°
E 99.585571°		 ← 252.15 m → S 65.617487°
E 99.591064°		 →
↑
252.16 m
↓
↑
252.16 m
↓
S 65.619755°
E 99.585571°		 ← 252.13 m →
63 580 m²		 S 65.619755°
E 99.591064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50897 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48750 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776634216308594 y=0.743873596191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776634216308594 × 216)
    floor (0.776634216308594 × 65536)
    floor (50897.5)     		tx = 50897
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743873596191406 × 216)
    floor (0.743873596191406 × 65536)
    floor (48750.5)     		ty = 48750
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50897 / 48750 ti = "16/50897/48750"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50897/48750.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50897 ÷ 216
    50897 ÷ 65536     		x = 0.776626586914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48750 ÷ 216
    48750 ÷ 65536     		y = 0.743865966796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776626586914062 × 2 - 1) × π
    0.553253173828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73809611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743865966796875 × 2 - 1) × π
    -0.48773193359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53225505945547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73809611} λ = 1.73809611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53225505945547))-π/2
    2×atan(0.216047916672026)-π/2
    2×0.212777560965326-π/2
    0.425555121930652-1.57079632675     		φ = -1.14524120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73809611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.585571°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14524120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.617487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50897 KachelY 48750 1.73809611 -1.14524120 99.585571 -65.617487
    Oben rechts KachelX + 1 50898 KachelY 48750 1.73819198 -1.14524120 99.591064 -65.617487
    Unten links KachelX 50897 KachelY + 1 48751 1.73809611 -1.14528078 99.585571 -65.619755
    Unten rechts KachelX + 1 50898 KachelY + 1 48751 1.73819198 -1.14528078 99.591064 -65.619755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14524120--1.14528078) × R
    3.9579999999928e-05 × 6371000     		dl = 252.164179999541m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14524120--1.14528078) × R
    3.9579999999928e-05 × 6371000     		dr = 252.164179999541m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73809611-1.73819198) × cos(-1.14524120) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.412826460197729 × 6371000     		do = 252.149353021159m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73809611-1.73819198) × cos(-1.14528078) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.41279041002636 × 6371000     		du = 252.127334017381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14524120)-sin(-1.14528078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412826460197729-0.41279041002636)×R²
    abs(1.73819198-1.73809611)×3.60501713687067e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.60501713687067e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.60501713687067e-05×40589641000000     		ar = 63580.2586485361m²