Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50895 / 49295
↖ ↑ ↗
← S 66.824359°
E 99.574585°		 ← 240.38 m → S 66.824359°
E 99.580078°		 →
↑
240.38 m
↓
↑
240.38 m
↓
S 66.826520°
E 99.574585°		 ← 240.36 m →
57 779 m²		 S 66.826520°
E 99.580078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50895 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49295 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776603698730469 y=0.752189636230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776603698730469 × 216)
    floor (0.776603698730469 × 65536)
    floor (50895.5)     		tx = 50895
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752189636230469 × 216)
    floor (0.752189636230469 × 65536)
    floor (49295.5)     		ty = 49295
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50895 / 49295 ti = "16/50895/49295"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50895/49295.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50895 ÷ 216
    50895 ÷ 65536     		x = 0.776596069335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49295 ÷ 216
    49295 ÷ 65536     		y = 0.752182006835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776596069335938 × 2 - 1) × π
    0.553192138671875 × 3.1415926535     		Λ = 1.73790436
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752182006835938 × 2 - 1) × π
    -0.504364013671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.58450628004134
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73790436} λ = 1.73790436}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58450628004134))-π/2
    2×atan(0.20504900491583)-π/2
    2×0.202245624970814-π/2
    0.404491249941629-1.57079632675     		φ = -1.16630508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73790436} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.574585°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16630508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.824359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50895 KachelY 49295 1.73790436 -1.16630508 99.574585 -66.824359
    Oben rechts KachelX + 1 50896 KachelY 49295 1.73800023 -1.16630508 99.580078 -66.824359
    Unten links KachelX 50895 KachelY + 1 49296 1.73790436 -1.16634281 99.574585 -66.826520
    Unten rechts KachelX + 1 50896 KachelY + 1 49296 1.73800023 -1.16634281 99.580078 -66.826520
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16630508--1.16634281) × R
    3.77299999998471e-05 × 6371000     		dl = 240.377829999026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16630508--1.16634281) × R
    3.77299999998471e-05 × 6371000     		dr = 240.377829999026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73790436-1.73800023) × cos(-1.16630508) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.393551113108673 × 6371000     		do = 240.376206756659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73790436-1.73800023) × cos(-1.16634281) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.393516427536312 × 6371000     		du = 240.355021233266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16630508)-sin(-1.16634281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393551113108673-0.393516427536312)×R²
    abs(1.73800023-1.73790436)×3.46855723608597e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.46855723608597e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.46855723608597e-05×40589641000000     		ar = 57778.56470534m²