Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50894 / 48746
↖ ↑ ↗
← S 65.608415°
E 99.569092°		 ← 252.24 m → S 65.608415°
E 99.574585°		 →
↑
252.23 m
↓
↑
252.23 m
↓
S 65.610683°
E 99.569092°		 ← 252.22 m →
63 619 m²		 S 65.610683°
E 99.574585°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50894 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776588439941406 y=0.743812561035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776588439941406 × 216)
    floor (0.776588439941406 × 65536)
    floor (50894.5)     		tx = 50894
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743812561035156 × 216)
    floor (0.743812561035156 × 65536)
    floor (48746.5)     		ty = 48746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50894 / 48746 ti = "16/50894/48746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50894/48746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50894 ÷ 216
    50894 ÷ 65536     		x = 0.776580810546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48746 ÷ 216
    48746 ÷ 65536     		y = 0.743804931640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776580810546875 × 2 - 1) × π
    0.55316162109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.73780849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743804931640625 × 2 - 1) × π
    -0.48760986328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53187156425851
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73780849} λ = 1.73780849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53187156425851))-π/2
    2×atan(0.216130785899342)-π/2
    2×0.212856733272766-π/2
    0.425713466545532-1.57079632675     		φ = -1.14508286
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73780849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.569092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14508286 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.608415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50894 KachelY 48746 1.73780849 -1.14508286 99.569092 -65.608415
    Oben rechts KachelX + 1 50895 KachelY 48746 1.73790436 -1.14508286 99.574585 -65.608415
    Unten links KachelX 50894 KachelY + 1 48747 1.73780849 -1.14512245 99.569092 -65.610683
    Unten rechts KachelX + 1 50895 KachelY + 1 48747 1.73790436 -1.14512245 99.574585 -65.610683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14508286--1.14512245) × R
    3.95899999998672e-05 × 6371000     		dl = 252.227889999154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14508286--1.14512245) × R
    3.95899999998672e-05 × 6371000     		dr = 252.227889999154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73780849-1.73790436) × cos(-1.14508286) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.412970672630284 × 6371000     		do = 252.237436211246m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73780849-1.73790436) × cos(-1.14512245) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.412934615938871 × 6371000     		du = 252.215413225104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14508286)-sin(-1.14512245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412970672630284-0.412934615938871)×R²
    abs(1.73790436-1.73780849)×3.60566914128779e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.60566914128779e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.60566914128779e-05×40589641000000     		ar = 63618.5389169884m²