Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50893 / 49108
↖ ↑ ↗
← S 66.416748°
E 99.563599°		 ← 244.39 m → S 66.416748°
E 99.569092°		 →
↑
244.33 m
↓
↑
244.33 m
↓
S 66.418945°
E 99.563599°		 ← 244.37 m →
59 709 m²		 S 66.418945°
E 99.569092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50893 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776573181152344 y=0.749336242675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776573181152344 × 216)
    floor (0.776573181152344 × 65536)
    floor (50893.5)     		tx = 50893
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749336242675781 × 216)
    floor (0.749336242675781 × 65536)
    floor (49108.5)     		ty = 49108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50893 / 49108 ti = "16/50893/49108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50893/49108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50893 ÷ 216
    50893 ÷ 65536     		x = 0.776565551757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49108 ÷ 216
    49108 ÷ 65536     		y = 0.74932861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776565551757812 × 2 - 1) × π
    0.553131103515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73771261
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74932861328125 × 2 - 1) × π
    -0.4986572265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.56657787958344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73771261} λ = 1.73771261}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56657787958344))-π/2
    2×atan(0.20875835761294)-π/2
    2×0.205802699002626-π/2
    0.411605398005252-1.57079632675     		φ = -1.15919093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73771261} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.563599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15919093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.416748°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50893 KachelY 49108 1.73771261 -1.15919093 99.563599 -66.416748
    Oben rechts KachelX + 1 50894 KachelY 49108 1.73780849 -1.15919093 99.569092 -66.416748
    Unten links KachelX 50893 KachelY + 1 49109 1.73771261 -1.15922928 99.563599 -66.418945
    Unten rechts KachelX + 1 50894 KachelY + 1 49109 1.73780849 -1.15922928 99.569092 -66.418945
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15919093--1.15922928) × R
    3.83499999998538e-05 × 6371000     		dl = 244.327849999068m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15919093--1.15922928) × R
    3.83499999998538e-05 × 6371000     		dr = 244.327849999068m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73771261-1.73780849) × cos(-1.15919093) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.400081156513886 × 6371000     		do = 244.390166576459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73771261-1.73780849) × cos(-1.15922928) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.400046009222617 × 6371000     		du = 244.368696801569m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15919093)-sin(-1.15922928))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400081156513886-0.400046009222617)×R²
    abs(1.73780849-1.73771261)×3.51472912697437e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.51472912697437e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.51472912697437e-05×40589641000000     		ar = 59708.7011359761m²