Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5089 / 8802
↖ ↑ ↗
← N 63.694987°
W124.090576°		 ← 541.34 m → N 63.694987°
W124.079590°		 →
↑
541.41 m
↓
↑
541.41 m
↓
N 63.690118°
W124.090576°		 ← 541.43 m →
293 111 m²		 N 63.690118°
W124.079590°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.155319213867188 y=0.268630981445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.155319213867188 × 215)
    floor (0.155319213867188 × 32768)
    floor (5089.5)     		tx = 5089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268630981445312 × 215)
    floor (0.268630981445312 × 32768)
    floor (8802.5)     		ty = 8802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5089 / 8802 ti = "15/5089/8802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5089/8802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5089 ÷ 215
    5089 ÷ 32768     		x = 0.155303955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8802 ÷ 215
    8802 ÷ 32768     		y = 0.26861572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.155303955078125 × 2 - 1) × π
    -0.68939208984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.16578912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26861572265625 × 2 - 1) × π
    0.4627685546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.45383029167706
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16578912} λ = -2.16578912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45383029167706))-π/2
    2×atan(4.27947479954318)-π/2
    2×1.34124178284773-π/2
    2.68248356569547-1.57079632675     		φ = 1.11168724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16578912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.090576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11168724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.694987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5089 KachelY 8802 -2.16578912 1.11168724 -124.090576 63.694987
    Oben rechts KachelX + 1 5090 KachelY 8802 -2.16559738 1.11168724 -124.079590 63.694987
    Unten links KachelX 5089 KachelY + 1 8803 -2.16578912 1.11160226 -124.090576 63.690118
    Unten rechts KachelX + 1 5090 KachelY + 1 8803 -2.16559738 1.11160226 -124.079590 63.690118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11168724-1.11160226) × R
    8.49800000000123e-05 × 6371000     		dl = 541.407580000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11168724-1.11160226) × R
    8.49800000000123e-05 × 6371000     		dr = 541.407580000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16578912--2.16559738) × cos(1.11168724) × R
    0.000191739999999996 × 0.443149625881973 × 6371000     		do = 541.340743537558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16578912--2.16559738) × cos(1.11160226) × R
    0.000191739999999996 × 0.443225804403997 × 6371000     		du = 541.433801356735m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11168724)-sin(1.11160226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443149625881973-0.443225804403997)×R²
    abs(-2.16559738--2.16578912)×7.61785220233513e-05×R²
    0.000191739999999996×7.61785220233513e-05×6371000²
    0.000191739999999996×7.61785220233513e-05×40589641000000     		ar = 293111.173194433m²