Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50889 / 49258
↖ ↑ ↗
← S 66.744240°
E 99.541626°		 ← 241.16 m → S 66.744240°
E 99.547119°		 →
↑
241.21 m
↓
↑
241.21 m
↓
S 66.746409°
E 99.541626°		 ← 241.14 m →
58 167 m²		 S 66.746409°
E 99.547119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776512145996094 y=0.751625061035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776512145996094 × 216)
    floor (0.776512145996094 × 65536)
    floor (50889.5)     		tx = 50889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751625061035156 × 216)
    floor (0.751625061035156 × 65536)
    floor (49258.5)     		ty = 49258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50889 / 49258 ti = "16/50889/49258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50889/49258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50889 ÷ 216
    50889 ÷ 65536     		x = 0.776504516601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49258 ÷ 216
    49258 ÷ 65536     		y = 0.751617431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776504516601562 × 2 - 1) × π
    0.553009033203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73732912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751617431640625 × 2 - 1) × π
    -0.50323486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58095894946945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73732912} λ = 1.73732912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58095894946945))-π/2
    2×atan(0.205777673169185)-π/2
    2×0.202944792093311-π/2
    0.405889584186622-1.57079632675     		φ = -1.16490674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73732912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.541626°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16490674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.744240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50889 KachelY 49258 1.73732912 -1.16490674 99.541626 -66.744240
    Oben rechts KachelX + 1 50890 KachelY 49258 1.73742499 -1.16490674 99.547119 -66.744240
    Unten links KachelX 50889 KachelY + 1 49259 1.73732912 -1.16494460 99.541626 -66.746409
    Unten rechts KachelX + 1 50890 KachelY + 1 49259 1.73742499 -1.16494460 99.547119 -66.746409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16490674--1.16494460) × R
    3.78600000001672e-05 × 6371000     		dl = 241.206060001065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16490674--1.16494460) × R
    3.78600000001672e-05 × 6371000     		dr = 241.206060001065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73732912-1.73742499) × cos(-1.16490674) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.394836225712366 × 6371000     		do = 241.161137818067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73732912-1.73742499) × cos(-1.16494460) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.394801441496865 × 6371000     		du = 241.13989204465m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16490674)-sin(-1.16494460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394836225712366-0.394801441496865)×R²
    abs(1.73742499-1.73732912)×3.47842155010158e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.47842155010158e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.47842155010158e-05×40589641000000     		ar = 58166.9655809461m²