Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50889 / 48744
↖ ↑ ↗
← S 65.603878°
E 99.541626°		 ← 252.28 m → S 65.603878°
E 99.547119°		 →
↑
252.29 m
↓
↑
252.29 m
↓
S 65.606147°
E 99.541626°		 ← 252.26 m →
63 646 m²		 S 65.606147°
E 99.547119°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50889 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776512145996094 y=0.743782043457031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776512145996094 × 216)
    floor (0.776512145996094 × 65536)
    floor (50889.5)     		tx = 50889
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743782043457031 × 216)
    floor (0.743782043457031 × 65536)
    floor (48744.5)     		ty = 48744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50889 / 48744 ti = "16/50889/48744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50889/48744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50889 ÷ 216
    50889 ÷ 65536     		x = 0.776504516601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48744 ÷ 216
    48744 ÷ 65536     		y = 0.7437744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776504516601562 × 2 - 1) × π
    0.553009033203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73732912
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7437744140625 × 2 - 1) × π
    -0.487548828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53167981666003
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73732912} λ = 1.73732912}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53167981666003))-π/2
    2×atan(0.216172232432006)-π/2
    2×0.212896329797392-π/2
    0.425792659594785-1.57079632675     		φ = -1.14500367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73732912} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.541626°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14500367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.603878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50889 KachelY 48744 1.73732912 -1.14500367 99.541626 -65.603878
    Oben rechts KachelX + 1 50890 KachelY 48744 1.73742499 -1.14500367 99.547119 -65.603878
    Unten links KachelX 50889 KachelY + 1 48745 1.73732912 -1.14504327 99.541626 -65.606147
    Unten rechts KachelX + 1 50890 KachelY + 1 48745 1.73742499 -1.14504327 99.547119 -65.606147
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14500367--1.14504327) × R
    3.96000000000285e-05 × 6371000     		dl = 252.291600000182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14500367--1.14504327) × R
    3.96000000000285e-05 × 6371000     		dr = 252.291600000182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73732912-1.73742499) × cos(-1.14500367) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.413042793178339 × 6371000     		do = 252.281486559963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73732912-1.73742499) × cos(-1.14504327) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.41300672867442 × 6371000     		du = 252.259458802039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14500367)-sin(-1.14504327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413042793178339-0.41300672867442)×R²
    abs(1.73742499-1.73732912)×3.60645039186314e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.60645039186314e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.60645039186314e-05×40589641000000     		ar = 63645.7211937823m²