Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50888 / 48856
↖ ↑ ↗
← S 65.856757°
E 99.536133°		 ← 249.85 m → S 65.856757°
E 99.541626°		 →
↑
249.81 m
↓
↑
249.81 m
↓
S 65.859003°
E 99.536133°		 ← 249.83 m →
62 412 m²		 S 65.859003°
E 99.541626°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776496887207031 y=0.745491027832031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776496887207031 × 216)
    floor (0.776496887207031 × 65536)
    floor (50888.5)     		tx = 50888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745491027832031 × 216)
    floor (0.745491027832031 × 65536)
    floor (48856.5)     		ty = 48856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50888 / 48856 ti = "16/50888/48856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50888/48856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50888 ÷ 216
    50888 ÷ 65536     		x = 0.7764892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48856 ÷ 216
    48856 ÷ 65536     		y = 0.7454833984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7764892578125 × 2 - 1) × π
    0.552978515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73723324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7454833984375 × 2 - 1) × π
    -0.490966796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.54241768217493
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73723324} λ = 1.73723324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54241768217493))-π/2
    2×atan(0.213863422103614)-π/2
    2×0.210689545784322-π/2
    0.421379091568644-1.57079632675     		φ = -1.14941724
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73723324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.536133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14941724 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.856757°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50888 KachelY 48856 1.73723324 -1.14941724 99.536133 -65.856757
    Oben rechts KachelX + 1 50889 KachelY 48856 1.73732912 -1.14941724 99.541626 -65.856757
    Unten links KachelX 50888 KachelY + 1 48857 1.73723324 -1.14945645 99.536133 -65.859003
    Unten rechts KachelX + 1 50889 KachelY + 1 48857 1.73732912 -1.14945645 99.541626 -65.859003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14941724--1.14945645) × R
    3.92099999999562e-05 × 6371000     		dl = 249.806909999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14941724--1.14945645) × R
    3.92099999999562e-05 × 6371000     		dr = 249.806909999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73723324-1.73732912) × cos(-1.14941724) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.409019293804828 × 6371000     		do = 249.850040969649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73723324-1.73732912) × cos(-1.14945645) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.408983513356344 × 6371000     		du = 249.828184429737m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14941724)-sin(-1.14945645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409019293804828-0.408983513356344)×R²
    abs(1.73732912-1.73723324)×3.57804484837354e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.57804484837354e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.57804484837354e-05×40589641000000     		ar = 62411.5367488083m²