Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50888 / 48840
↖ ↑ ↗
← S 65.820782°
E 99.536133°		 ← 250.20 m → S 65.820782°
E 99.541626°		 →
↑
250.19 m
↓
↑
250.19 m
↓
S 65.823032°
E 99.536133°		 ← 250.18 m →
62 595 m²		 S 65.823032°
E 99.541626°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50888 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776496887207031 y=0.745246887207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776496887207031 × 216)
    floor (0.776496887207031 × 65536)
    floor (50888.5)     		tx = 50888
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745246887207031 × 216)
    floor (0.745246887207031 × 65536)
    floor (48840.5)     		ty = 48840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50888 / 48840 ti = "16/50888/48840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50888/48840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50888 ÷ 216
    50888 ÷ 65536     		x = 0.7764892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48840 ÷ 216
    48840 ÷ 65536     		y = 0.7452392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7764892578125 × 2 - 1) × π
    0.552978515625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73723324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7452392578125 × 2 - 1) × π
    -0.490478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54088370138709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73723324} λ = 1.73723324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54088370138709))-π/2
    2×atan(0.214191736233747)-π/2
    2×0.211003479306667-π/2
    0.422006958613333-1.57079632675     		φ = -1.14878937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73723324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.536133°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14878937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.820782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50888 KachelY 48840 1.73723324 -1.14878937 99.536133 -65.820782
    Oben rechts KachelX + 1 50889 KachelY 48840 1.73732912 -1.14878937 99.541626 -65.820782
    Unten links KachelX 50888 KachelY + 1 48841 1.73723324 -1.14882864 99.536133 -65.823032
    Unten rechts KachelX + 1 50889 KachelY + 1 48841 1.73732912 -1.14882864 99.541626 -65.823032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14878937--1.14882864) × R
    3.92700000000357e-05 × 6371000     		dl = 250.189170000227m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14878937--1.14882864) × R
    3.92700000000357e-05 × 6371000     		dr = 250.189170000227m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73723324-1.73732912) × cos(-1.14878937) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.409592160678565 × 6371000     		do = 250.199977547315m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73723324-1.73732912) × cos(-1.14882864) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.409556335569161 × 6371000     		du = 250.178093726214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14878937)-sin(-1.14882864))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409592160678565-0.409556335569161)×R²
    abs(1.73732912-1.73723324)×3.58251094040862e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.58251094040862e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.58251094040862e-05×40589641000000     		ar = 62594.5871768843m²