Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50882 / 48324
↖ ↑ ↗
← S 64.633292°
E 99.503174°		 ← 261.67 m → S 64.633292°
E 99.508667°		 →
↑
261.72 m
↓
↑
261.72 m
↓
S 64.635646°
E 99.503174°		 ← 261.65 m →
68 481 m²		 S 64.635646°
E 99.508667°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50882 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48324 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776405334472656 y=0.737373352050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776405334472656 × 216)
    floor (0.776405334472656 × 65536)
    floor (50882.5)     		tx = 50882
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737373352050781 × 216)
    floor (0.737373352050781 × 65536)
    floor (48324.5)     		ty = 48324
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50882 / 48324 ti = "16/50882/48324"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50882/48324.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50882 ÷ 216
    50882 ÷ 65536     		x = 0.776397705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48324 ÷ 216
    48324 ÷ 65536     		y = 0.73736572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776397705078125 × 2 - 1) × π
    0.55279541015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73665800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73736572265625 × 2 - 1) × π
    -0.4747314453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49141282097919
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73665800} λ = 1.73665800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49141282097919))-π/2
    2×atan(0.22505446914669)-π/2
    2×0.221366286260952-π/2
    0.442732572521905-1.57079632675     		φ = -1.12806375
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73665800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.503174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12806375 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.633292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50882 KachelY 48324 1.73665800 -1.12806375 99.503174 -64.633292
    Oben rechts KachelX + 1 50883 KachelY 48324 1.73675387 -1.12806375 99.508667 -64.633292
    Unten links KachelX 50882 KachelY + 1 48325 1.73665800 -1.12810483 99.503174 -64.635646
    Unten rechts KachelX + 1 50883 KachelY + 1 48325 1.73675387 -1.12810483 99.508667 -64.635646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12806375--1.12810483) × R
    4.10800000001377e-05 × 6371000     		dl = 261.720680000877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12806375--1.12810483) × R
    4.10800000001377e-05 × 6371000     		dr = 261.720680000877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73665800-1.73675387) × cos(-1.12806375) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.428410175150409 × 6371000     		do = 261.667695525422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73665800-1.73675387) × cos(-1.12810483) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.42837305554283 × 6371000     		du = 261.645023323085m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12806375)-sin(-1.12810483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428410175150409-0.42837305554283)×R²
    abs(1.73675387-1.73665800)×3.71196075791835e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.71196075791835e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.71196075791835e-05×40589641000000     		ar = 68480.8803247504m²