Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50881 / 48833
↖ ↑ ↗
← S 65.805028°
E 99.497681°		 ← 250.33 m → S 65.805028°
E 99.503174°		 →
↑
250.32 m
↓
↑
250.32 m
↓
S 65.807279°
E 99.497681°		 ← 250.31 m →
62 658 m²		 S 65.807279°
E 99.503174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50881 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48833 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776390075683594 y=0.745140075683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776390075683594 × 216)
    floor (0.776390075683594 × 65536)
    floor (50881.5)     		tx = 50881
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745140075683594 × 216)
    floor (0.745140075683594 × 65536)
    floor (48833.5)     		ty = 48833
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50881 / 48833 ti = "16/50881/48833"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50881/48833.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50881 ÷ 216
    50881 ÷ 65536     		x = 0.776382446289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48833 ÷ 216
    48833 ÷ 65536     		y = 0.745132446289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776382446289062 × 2 - 1) × π
    0.552764892578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73656213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745132446289062 × 2 - 1) × π
    -0.490264892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5402125847924
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73656213} λ = 1.73656213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5402125847924))-π/2
    2×atan(0.214335532108879)-π/2
    2×0.21114096343579-π/2
    0.422281926871581-1.57079632675     		φ = -1.14851440
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73656213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.497681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14851440 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.805028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50881 KachelY 48833 1.73656213 -1.14851440 99.497681 -65.805028
    Oben rechts KachelX + 1 50882 KachelY 48833 1.73665800 -1.14851440 99.503174 -65.805028
    Unten links KachelX 50881 KachelY + 1 48834 1.73656213 -1.14855369 99.497681 -65.807279
    Unten rechts KachelX + 1 50882 KachelY + 1 48834 1.73665800 -1.14855369 99.503174 -65.807279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14851440--1.14855369) × R
    3.92899999999141e-05 × 6371000     		dl = 250.316589999453m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14851440--1.14855369) × R
    3.92899999999141e-05 × 6371000     		dr = 250.316589999453m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73656213-1.73665800) × cos(-1.14851440) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.409842991727713 × 6371000     		do = 250.327086967493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73656213-1.73665800) × cos(-1.14855369) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.409807152798831 × 6371000     		du = 250.305196988042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14851440)-sin(-1.14855369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.409842991727713-0.409807152798831)×R²
    abs(1.73665800-1.73656213)×3.58389288811489e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.58389288811489e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.58389288811489e-05×40589641000000     		ar = 62658.28308966m²