Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50880 / 49107
↖ ↑ ↗
← S 66.414550°
E 99.492187°		 ← 244.41 m → S 66.414550°
E 99.497681°		 →
↑
244.39 m
↓
↑
244.39 m
↓
S 66.416748°
E 99.492187°		 ← 244.39 m →
59 730 m²		 S 66.416748°
E 99.497681°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50880 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776374816894531 y=0.749320983886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776374816894531 × 216)
    floor (0.776374816894531 × 65536)
    floor (50880.5)     		tx = 50880
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749320983886719 × 216)
    floor (0.749320983886719 × 65536)
    floor (49107.5)     		ty = 49107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50880 / 49107 ti = "16/50880/49107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50880/49107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50880 ÷ 216
    50880 ÷ 65536     		x = 0.7763671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49107 ÷ 216
    49107 ÷ 65536     		y = 0.749313354492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7763671875 × 2 - 1) × π
    0.552734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.73646625
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749313354492188 × 2 - 1) × π
    -0.498626708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.5664820057842
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73646625} λ = 1.73646625}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5664820057842))-π/2
    2×atan(0.208778373029269)-π/2
    2×0.205821878495518-π/2
    0.411643756991037-1.57079632675     		φ = -1.15915257
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73646625} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.492187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15915257 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.414550°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50880 KachelY 49107 1.73646625 -1.15915257 99.492187 -66.414550
    Oben rechts KachelX + 1 50881 KachelY 49107 1.73656213 -1.15915257 99.497681 -66.414550
    Unten links KachelX 50880 KachelY + 1 49108 1.73646625 -1.15919093 99.492187 -66.416748
    Unten rechts KachelX + 1 50881 KachelY + 1 49108 1.73656213 -1.15919093 99.497681 -66.416748
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15915257--1.15919093) × R
    3.8360000000015e-05 × 6371000     		dl = 244.391560000096m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15915257--1.15919093) × R
    3.8360000000015e-05 × 6371000     		dr = 244.391560000096m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73646625-1.73656213) × cos(-1.15915257) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.400116312381392 × 6371000     		do = 244.411641590155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73646625-1.73656213) × cos(-1.15919093) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.400081156513886 × 6371000     		du = 244.390166576459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15915257)-sin(-1.15919093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400116312381392-0.400081156513886)×R²
    abs(1.73656213-1.73646625)×3.51558675052988e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.51558675052988e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.51558675052988e-05×40589641000000     		ar = 59729.5182215494m²