Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5088 / 8804
↖ ↑ ↗
← N 63.685248°
W124.101562°		 ← 541.56 m → N 63.685248°
W124.090576°		 →
↑
541.60 m
↓
↑
541.60 m
↓
N 63.680377°
W124.101562°		 ← 541.65 m →
293 331 m²		 N 63.680377°
W124.090576°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8804 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.155288696289062 y=0.268692016601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.155288696289062 × 215)
    floor (0.155288696289062 × 32768)
    floor (5088.5)     		tx = 5088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.268692016601562 × 215)
    floor (0.268692016601562 × 32768)
    floor (8804.5)     		ty = 8804
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5088 / 8804 ti = "15/5088/8804"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5088/8804.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5088 ÷ 215
    5088 ÷ 32768     		x = 0.1552734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8804 ÷ 215
    8804 ÷ 32768     		y = 0.2686767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1552734375 × 2 - 1) × π
    -0.689453125 × 3.1415926535     		Λ = -2.16598087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2686767578125 × 2 - 1) × π
    0.462646484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.4534467964801
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16598087} λ = -2.16598087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4534467964801))-π/2
    2×atan(4.27783395615993)-π/2
    2×1.34115679536362-π/2
    2.68231359072724-1.57079632675     		φ = 1.11151726
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16598087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.101562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11151726 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.685248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5088 KachelY 8804 -2.16598087 1.11151726 -124.101562 63.685248
    Oben rechts KachelX + 1 5089 KachelY 8804 -2.16578912 1.11151726 -124.090576 63.685248
    Unten links KachelX 5088 KachelY + 1 8805 -2.16598087 1.11143225 -124.101562 63.680377
    Unten rechts KachelX + 1 5089 KachelY + 1 8805 -2.16578912 1.11143225 -124.090576 63.680377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11151726-1.11143225) × R
    8.5010000000052e-05 × 6371000     		dl = 541.598710000331m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11151726-1.11143225) × R
    8.5010000000052e-05 × 6371000     		dr = 541.598710000331m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16598087--2.16578912) × cos(1.11151726) × R
    0.000191749999999935 × 0.443301997652667 × 6371000     		do = 541.555119935722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16598087--2.16578912) × cos(1.11143225) × R
    0.000191749999999935 × 0.443378196661826 × 6371000     		du = 541.648207636122m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11151726)-sin(1.11143225))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.443301997652667-0.443378196661826)×R²
    abs(-2.16578912--2.16598087)×7.61990091596165e-05×R²
    0.000191749999999935×7.61990091596165e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.61990091596165e-05×40589641000000     		ar = 293330.762617095m²