Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50879 / 49099
↖ ↑ ↗
← S 66.396961°
E 99.486694°		 ← 244.56 m → S 66.396961°
E 99.492187°		 →
↑
244.52 m
↓
↑
244.52 m
↓
S 66.399160°
E 99.486694°		 ← 244.54 m →
59 796 m²		 S 66.399160°
E 99.492187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776359558105469 y=0.749198913574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776359558105469 × 216)
    floor (0.776359558105469 × 65536)
    floor (50879.5)     		tx = 50879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.749198913574219 × 216)
    floor (0.749198913574219 × 65536)
    floor (49099.5)     		ty = 49099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50879 / 49099 ti = "16/50879/49099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50879/49099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50879 ÷ 216
    50879 ÷ 65536     		x = 0.776351928710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49099 ÷ 216
    49099 ÷ 65536     		y = 0.749191284179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776351928710938 × 2 - 1) × π
    0.552703857421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.73637038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.749191284179688 × 2 - 1) × π
    -0.498382568359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.56571501539027
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73637038} λ = 1.73637038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.56571501539027))-π/2
    2×atan(0.208938565461016)-π/2
    2×0.205975375118756-π/2
    0.411950750237511-1.57079632675     		φ = -1.15884558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73637038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.486694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15884558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.396961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50879 KachelY 49099 1.73637038 -1.15884558 99.486694 -66.396961
    Oben rechts KachelX + 1 50880 KachelY 49099 1.73646625 -1.15884558 99.492187 -66.396961
    Unten links KachelX 50879 KachelY + 1 49100 1.73637038 -1.15888396 99.486694 -66.399160
    Unten rechts KachelX + 1 50880 KachelY + 1 49100 1.73646625 -1.15888396 99.492187 -66.399160
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15884558--1.15888396) × R
    3.83800000001155e-05 × 6371000     		dl = 244.518980000736m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15884558--1.15888396) × R
    3.83800000001155e-05 × 6371000     		dr = 244.518980000736m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73637038-1.73646625) × cos(-1.15884558) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.400397638919043 × 6371000     		do = 244.557980988622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73637038-1.73646625) × cos(-1.15888396) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.400362469437675 × 6371000     		du = 244.536499899525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15884558)-sin(-1.15888396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.400397638919043-0.400362469437675)×R²
    abs(1.73646625-1.73637038)×3.51694813686687e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.51694813686687e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.51694813686687e-05×40589641000000     		ar = 59796.4418026075m²