Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50879 / 48328
↖ ↑ ↗
← S 64.642704°
E 99.486694°		 ← 261.58 m → S 64.642704°
E 99.492187°		 →
↑
261.59 m
↓
↑
261.59 m
↓
S 64.645056°
E 99.486694°		 ← 261.55 m →
68 424 m²		 S 64.645056°
E 99.492187°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50879 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776359558105469 y=0.737434387207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776359558105469 × 216)
    floor (0.776359558105469 × 65536)
    floor (50879.5)     		tx = 50879
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737434387207031 × 216)
    floor (0.737434387207031 × 65536)
    floor (48328.5)     		ty = 48328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50879 / 48328 ti = "16/50879/48328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50879/48328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50879 ÷ 216
    50879 ÷ 65536     		x = 0.776351928710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48328 ÷ 216
    48328 ÷ 65536     		y = 0.7374267578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776351928710938 × 2 - 1) × π
    0.552703857421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.73637038
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7374267578125 × 2 - 1) × π
    -0.474853515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49179631617615
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73637038} λ = 1.73637038}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49179631617615))-π/2
    2×atan(0.224968178385821)-π/2
    2×0.221284153870903-π/2
    0.442568307741807-1.57079632675     		φ = -1.12822802
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73637038} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.486694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12822802 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.642704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50879 KachelY 48328 1.73637038 -1.12822802 99.486694 -64.642704
    Oben rechts KachelX + 1 50880 KachelY 48328 1.73646625 -1.12822802 99.492187 -64.642704
    Unten links KachelX 50879 KachelY + 1 48329 1.73637038 -1.12826908 99.486694 -64.645056
    Unten rechts KachelX + 1 50880 KachelY + 1 48329 1.73646625 -1.12826908 99.492187 -64.645056
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12822802--1.12826908) × R
    4.10599999998151e-05 × 6371000     		dl = 261.593259998822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12822802--1.12826908) × R
    4.10599999998151e-05 × 6371000     		dr = 261.593259998822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73637038-1.73646625) × cos(-1.12822802) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.428261737565633 × 6371000     		do = 261.577031664032m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73637038-1.73646625) × cos(-1.12826908) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.428224633141124 × 6371000     		du = 261.554368735329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12822802)-sin(-1.12826908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428261737565633-0.428224633141124)×R²
    abs(1.73646625-1.73637038)×3.7104424508827e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.7104424508827e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.7104424508827e-05×40589641000000     		ar = 68423.8242287165m²