Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50876 / 49314
↖ ↑ ↗
← S 66.865399°
E 99.470215°		 ← 239.97 m → S 66.865399°
E 99.475708°		 →
↑
240 m
↓
↑
240 m
↓
S 66.867557°
E 99.470215°		 ← 239.95 m →
57 590 m²		 S 66.867557°
E 99.475708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50876 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49314 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776313781738281 y=0.752479553222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776313781738281 × 216)
    floor (0.776313781738281 × 65536)
    floor (50876.5)     		tx = 50876
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752479553222656 × 216)
    floor (0.752479553222656 × 65536)
    floor (49314.5)     		ty = 49314
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50876 / 49314 ti = "16/50876/49314"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50876/49314.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50876 ÷ 216
    50876 ÷ 65536     		x = 0.77630615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49314 ÷ 216
    49314 ÷ 65536     		y = 0.752471923828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77630615234375 × 2 - 1) × π
    0.5526123046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.73608276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752471923828125 × 2 - 1) × π
    -0.50494384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.5863278822269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73608276} λ = 1.73608276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5863278822269))-π/2
    2×atan(0.204675827194195)-π/2
    2×0.201887478175661-π/2
    0.403774956351321-1.57079632675     		φ = -1.16702137
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73608276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.470215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16702137 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.865399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50876 KachelY 49314 1.73608276 -1.16702137 99.470215 -66.865399
    Oben rechts KachelX + 1 50877 KachelY 49314 1.73617863 -1.16702137 99.475708 -66.865399
    Unten links KachelX 50876 KachelY + 1 49315 1.73608276 -1.16705904 99.470215 -66.867557
    Unten rechts KachelX + 1 50877 KachelY + 1 49315 1.73617863 -1.16705904 99.475708 -66.867557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16702137--1.16705904) × R
    3.76699999999897e-05 × 6371000     		dl = 239.995569999934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16702137--1.16705904) × R
    3.76699999999897e-05 × 6371000     		dr = 239.995569999934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73608276-1.73617863) × cos(-1.16702137) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.392892524847942 × 6371000     		do = 239.973949101539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73608276-1.73617863) × cos(-1.16705904) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.392857883824938 × 6371000     		du = 239.952790788347m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16702137)-sin(-1.16705904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.392892524847942-0.392857883824938)×R²
    abs(1.73617863-1.73608276)×3.46410230043226e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.46410230043226e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.46410230043226e-05×40589641000000     		ar = 57590.145755943m²