Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50870 / 48321
↖ ↑ ↗
← S 64.626231°
E 99.437256°		 ← 261.76 m → S 64.626231°
E 99.442749°		 →
↑
261.72 m
↓
↑
261.72 m
↓
S 64.628585°
E 99.437256°		 ← 261.74 m →
68 506 m²		 S 64.628585°
E 99.442749°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50870 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776222229003906 y=0.737327575683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776222229003906 × 216)
    floor (0.776222229003906 × 65536)
    floor (50870.5)     		tx = 50870
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737327575683594 × 216)
    floor (0.737327575683594 × 65536)
    floor (48321.5)     		ty = 48321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50870 / 48321 ti = "16/50870/48321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50870/48321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50870 ÷ 216
    50870 ÷ 65536     		x = 0.776214599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48321 ÷ 216
    48321 ÷ 65536     		y = 0.737319946289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776214599609375 × 2 - 1) × π
    0.55242919921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.73550751
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737319946289062 × 2 - 1) × π
    -0.474639892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49112519958147
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73550751} λ = 1.73550751}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49112519958147))-π/2
    2×atan(0.225119208937497)-π/2
    2×0.221427904233535-π/2
    0.44285580846707-1.57079632675     		φ = -1.12794052
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73550751} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.437256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12794052 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.626231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50870 KachelY 48321 1.73550751 -1.12794052 99.437256 -64.626231
    Oben rechts KachelX + 1 50871 KachelY 48321 1.73560339 -1.12794052 99.442749 -64.626231
    Unten links KachelX 50870 KachelY + 1 48322 1.73550751 -1.12798160 99.437256 -64.628585
    Unten rechts KachelX + 1 50871 KachelY + 1 48322 1.73560339 -1.12798160 99.442749 -64.628585
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12794052--1.12798160) × R
    4.10800000001377e-05 × 6371000     		dl = 261.720680000877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12794052--1.12798160) × R
    4.10800000001377e-05 × 6371000     		dr = 261.720680000877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73550751-1.73560339) × cos(-1.12794052) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.428521520599756 × 6371000     		do = 261.763005070646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73550751-1.73560339) × cos(-1.12798160) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.428484403161101 × 6371000     		du = 261.74033182831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12794052)-sin(-1.12798160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428521520599756-0.428484403161101)×R²
    abs(1.73560339-1.73550751)×3.71174386553652e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.71174386553652e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.71174386553652e-05×40589641000000     		ar = 68505.8246677714m²