Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5087 / 3037
↖ ↑ ↗
← N 81.152551°
W124.112549°		 ← 187.89 m → N 81.152551°
W124.101562°		 →
↑
187.94 m
↓
↑
187.94 m
↓
N 81.150861°
W124.112549°		 ← 187.93 m →
35 317 m²		 N 81.150861°
W124.101562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.155258178710938 y=0.0926971435546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.155258178710938 × 215)
    floor (0.155258178710938 × 32768)
    floor (5087.5)     		tx = 5087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0926971435546875 × 215)
    floor (0.0926971435546875 × 32768)
    floor (3037.5)     		ty = 3037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5087 / 3037 ti = "15/5087/3037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5087/3037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5087 ÷ 215
    5087 ÷ 32768     		x = 0.155242919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3037 ÷ 215
    3037 ÷ 32768     		y = 0.092681884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.155242919921875 × 2 - 1) × π
    -0.68951416015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.16617262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.092681884765625 × 2 - 1) × π
    0.81463623046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.55925519691556
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16617262} λ = -2.16617262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55925519691556))-π/2
    2×atan(12.9261862659696)-π/2
    2×1.49358777233709-π/2
    2.98717554467419-1.57079632675     		φ = 1.41637922
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16617262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.112549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41637922 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.152551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5087 KachelY 3037 -2.16617262 1.41637922 -124.112549 81.152551
    Oben rechts KachelX + 1 5088 KachelY 3037 -2.16598087 1.41637922 -124.101562 81.152551
    Unten links KachelX 5087 KachelY + 1 3038 -2.16617262 1.41634972 -124.112549 81.150861
    Unten rechts KachelX + 1 5088 KachelY + 1 3038 -2.16598087 1.41634972 -124.101562 81.150861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41637922-1.41634972) × R
    2.95000000001266e-05 × 6371000     		dl = 187.944500000807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41637922-1.41634972) × R
    2.95000000001266e-05 × 6371000     		dr = 187.944500000807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16617262--2.16598087) × cos(1.41637922) × R
    0.000191750000000379 × 0.153804167889466 × 6371000     		do = 187.893208307733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16617262--2.16598087) × cos(1.41634972) × R
    0.000191750000000379 × 0.153833316812364 × 6371000     		du = 187.928817776041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41637922)-sin(1.41634972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153804167889466-0.153833316812364)×R²
    abs(-2.16598087--2.16617262)×2.91489228978759e-05×R²
    0.000191750000000379×2.91489228978759e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.91489228978759e-05×40589641000000     		ar = 35316.8413938337m²