Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5087 / 3035
↖ ↑ ↗
← N 81.155930°
W124.112549°		 ← 187.82 m → N 81.155930°
W124.101562°		 →
↑
187.82 m
↓
↑
187.82 m
↓
N 81.154241°
W124.112549°		 ← 187.86 m →
35 280 m²		 N 81.154241°
W124.101562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.155258178710938 y=0.0926361083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.155258178710938 × 215)
    floor (0.155258178710938 × 32768)
    floor (5087.5)     		tx = 5087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0926361083984375 × 215)
    floor (0.0926361083984375 × 32768)
    floor (3035.5)     		ty = 3035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5087 / 3035 ti = "15/5087/3035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5087/3035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5087 ÷ 215
    5087 ÷ 32768     		x = 0.155242919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3035 ÷ 215
    3035 ÷ 32768     		y = 0.092620849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.155242919921875 × 2 - 1) × π
    -0.68951416015625 × 3.1415926535     		Λ = -2.16617262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.092620849609375 × 2 - 1) × π
    0.81475830078125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55963869211252
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16617262} λ = -2.16617262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55963869211252))-π/2
    2×atan(12.931144346957)-π/2
    2×1.49361725833036-π/2
    2.98723451666072-1.57079632675     		φ = 1.41643819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16617262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.112549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41643819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.155930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5087 KachelY 3035 -2.16617262 1.41643819 -124.112549 81.155930
    Oben rechts KachelX + 1 5088 KachelY 3035 -2.16598087 1.41643819 -124.101562 81.155930
    Unten links KachelX 5087 KachelY + 1 3036 -2.16617262 1.41640871 -124.112549 81.154241
    Unten rechts KachelX + 1 5088 KachelY + 1 3036 -2.16598087 1.41640871 -124.101562 81.154241
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41643819-1.41640871) × R
    2.94800000000262e-05 × 6371000     		dl = 187.817080000167m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41643819-1.41640871) × R
    2.94800000000262e-05 × 6371000     		dr = 187.817080000167m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16617262--2.16598087) × cos(1.41643819) × R
    0.000191750000000379 × 0.153745899285465 × 6371000     		do = 187.822025094042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16617262--2.16598087) × cos(1.41640871) × R
    0.000191750000000379 × 0.153775028713779 × 6371000     		du = 187.857610747001m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41643819)-sin(1.41640871))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153745899285465-0.153775028713779)×R²
    abs(-2.16598087--2.16617262)×2.91294283148169e-05×R²
    0.000191750000000379×2.91294283148169e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.91294283148169e-05×40589641000000     		ar = 35279.5261119206m²