Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5087 / 1273
↖ ↑ ↗
← N 76.910665°
E 43.549805°		 ← 1 106.64 m → N 76.910665°
E 43.593750°		 →
↑
1 107.02 m
↓
↑
1 107.02 m
↓
N 76.900709°
E 43.549805°		 ← 1 107.47 m →
1 225 541 m²		 N 76.900709°
E 43.593750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1273 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62103271484375 y=0.15545654296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62103271484375 × 213)
    floor (0.62103271484375 × 8192)
    floor (5087.5)     		tx = 5087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15545654296875 × 213)
    floor (0.15545654296875 × 8192)
    floor (1273.5)     		ty = 1273
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5087 / 1273 ti = "13/5087/1273"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5087/1273.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5087 ÷ 213
    5087 ÷ 8192     		x = 0.6209716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1273 ÷ 213
    1273 ÷ 8192     		y = 0.1553955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6209716796875 × 2 - 1) × π
    0.241943359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.76008748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1553955078125 × 2 - 1) × π
    0.689208984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.1652138820387
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.76008748} λ = 0.76008748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1652138820387))-π/2
    2×atan(8.71646601301688)-π/2
    2×1.45657032993741-π/2
    2.91314065987482-1.57079632675     		φ = 1.34234433
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.76008748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.549805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34234433 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.910665°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5087 KachelY 1273 0.76008748 1.34234433 43.549805 76.910665
    Oben rechts KachelX + 1 5088 KachelY 1273 0.76085447 1.34234433 43.593750 76.910665
    Unten links KachelX 5087 KachelY + 1 1274 0.76008748 1.34217057 43.549805 76.900709
    Unten rechts KachelX + 1 5088 KachelY + 1 1274 0.76085447 1.34217057 43.593750 76.900709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34234433-1.34217057) × R
    0.000173760000000023 × 6371000     		dl = 1107.02496000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34234433-1.34217057) × R
    0.000173760000000023 × 6371000     		dr = 1107.02496000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.76008748-0.76085447) × cos(1.34234433) × R
    0.000766989999999912 × 0.226470012284186 × 6371000     		do = 1106.64419541276m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.76008748-0.76085447) × cos(1.34217057) × R
    0.000766989999999912 × 0.226639254256175 × 6371000     		du = 1107.47119517328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34234433)-sin(1.34217057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226470012284186-0.226639254256175)×R²
    abs(0.76085447-0.76008748)×0.000169241971989226×R²
    0.000766989999999912×0.000169241971989226×6371000²
    0.000766989999999912×0.000169241971989226×40589641000000     		ar = 1225540.50393447m²