Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50865 / 82077
↖ ↑ ↗
← S 41.304635°
W 40.295105°		 ← 229.39 m → S 41.304635°
W 40.292359°		 →
↑
229.42 m
↓
↑
229.42 m
↓
S 41.306698°
W 40.295105°		 ← 229.38 m →
52 626 m²		 S 41.306698°
W 40.292359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.388072967529297 y=0.626201629638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.388072967529297 × 217)
    floor (0.388072967529297 × 131072)
    floor (50865.5)     		tx = 50865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626201629638672 × 217)
    floor (0.626201629638672 × 131072)
    floor (82077.5)     		ty = 82077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50865 / 82077 ti = "17/50865/82077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50865/82077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50865 ÷ 217
    50865 ÷ 131072     		x = 0.388069152832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82077 ÷ 217
    82077 ÷ 131072     		y = 0.626197814941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.388069152832031 × 2 - 1) × π
    -0.223861694335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.70328225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626197814941406 × 2 - 1) × π
    -0.252395629882812 × 3.1415926535     		Φ = -0.792924256615349
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.70328225} λ = -0.70328225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.792924256615349))-π/2
    2×atan(0.452519575223532)-π/2
    2×0.424947230196693-π/2
    0.849894460393386-1.57079632675     		φ = -0.72090187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.70328225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.295105°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72090187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.304635°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50865 KachelY 82077 -0.70328225 -0.72090187 -40.295105 -41.304635
    Oben rechts KachelX + 1 50866 KachelY 82077 -0.70323432 -0.72090187 -40.292359 -41.304635
    Unten links KachelX 50865 KachelY + 1 82078 -0.70328225 -0.72093788 -40.295105 -41.306698
    Unten rechts KachelX + 1 50866 KachelY + 1 82078 -0.70323432 -0.72093788 -40.292359 -41.306698
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72090187--0.72093788) × R
    3.60100000000863e-05 × 6371000     		dl = 229.41971000055m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72090187--0.72093788) × R
    3.60100000000863e-05 × 6371000     		dr = 229.41971000055m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.70328225--0.70323432) × cos(-0.72090187) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.751210744219497 × 6371000     		do = 229.391237812817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.70328225--0.70323432) × cos(-0.72093788) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.751186974884171 × 6371000     		du = 229.38397956033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72090187)-sin(-0.72093788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751210744219497-0.751186974884171)×R²
    abs(-0.70323432--0.70328225)×2.37693353253299e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.37693353253299e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.37693353253299e-05×40589641000000     		ar = 52626.0386682748m²