Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50865 / 48763
↖ ↑ ↗
← S 65.646951°
E 99.409790°		 ← 251.89 m → S 65.646951°
E 99.415283°		 →
↑
251.91 m
↓
↑
251.91 m
↓
S 65.649217°
E 99.409790°		 ← 251.87 m →
63 451 m²		 S 65.649217°
E 99.415283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776145935058594 y=0.744071960449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776145935058594 × 216)
    floor (0.776145935058594 × 65536)
    floor (50865.5)     		tx = 50865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744071960449219 × 216)
    floor (0.744071960449219 × 65536)
    floor (48763.5)     		ty = 48763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50865 / 48763 ti = "16/50865/48763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50865/48763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50865 ÷ 216
    50865 ÷ 65536     		x = 0.776138305664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48763 ÷ 216
    48763 ÷ 65536     		y = 0.744064331054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776138305664062 × 2 - 1) × π
    0.552276611328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73502814
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744064331054688 × 2 - 1) × π
    -0.488128662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.5335014188456
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73502814} λ = 1.73502814}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5335014188456))-π/2
    2×atan(0.215778811058355)-π/2
    2×0.212520441879769-π/2
    0.425040883759539-1.57079632675     		φ = -1.14575544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73502814} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.409790°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14575544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.646951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50865 KachelY 48763 1.73502814 -1.14575544 99.409790 -65.646951
    Oben rechts KachelX + 1 50866 KachelY 48763 1.73512402 -1.14575544 99.415283 -65.646951
    Unten links KachelX 50865 KachelY + 1 48764 1.73502814 -1.14579498 99.409790 -65.649217
    Unten rechts KachelX + 1 50866 KachelY + 1 48764 1.73512402 -1.14579498 99.415283 -65.649217
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14575544--1.14579498) × R
    3.95399999999491e-05 × 6371000     		dl = 251.909339999675m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14575544--1.14579498) × R
    3.95399999999491e-05 × 6371000     		dr = 251.909339999675m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73502814-1.73512402) × cos(-1.14575544) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.412358030852587 × 6371000     		do = 251.889513436023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73502814-1.73512402) × cos(-1.14579498) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.412322008725367 × 6371000     		du = 251.867509266298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14575544)-sin(-1.14579498))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412358030852587-0.412322008725367)×R²
    abs(1.73512402-1.73502814)×3.60221272200367e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.60221272200367e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.60221272200367e-05×40589641000000     		ar = 63450.5495628573m²