Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50864 / 82070
↖ ↑ ↗
← S 41.290190°
W 40.297851°		 ← 229.49 m → S 41.290190°
W 40.295105°		 →
↑
229.48 m
↓
↑
229.48 m
↓
S 41.292254°
W 40.297851°		 ← 229.48 m →
52 663 m²		 S 41.292254°
W 40.295105°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50864 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82070 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.388065338134766 y=0.626148223876953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.388065338134766 × 217)
    floor (0.388065338134766 × 131072)
    floor (50864.5)     		tx = 50864
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626148223876953 × 217)
    floor (0.626148223876953 × 131072)
    floor (82070.5)     		ty = 82070
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50864 / 82070 ti = "17/50864/82070"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50864/82070.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50864 ÷ 217
    50864 ÷ 131072     		x = 0.3880615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82070 ÷ 217
    82070 ÷ 131072     		y = 0.626144409179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3880615234375 × 2 - 1) × π
    -0.223876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.70333019
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626144409179688 × 2 - 1) × π
    -0.252288818359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.792588698318008
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.70333019} λ = -0.70333019}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.792588698318008))-π/2
    2×atan(0.452671447401267)-π/2
    2×0.425073281653911-π/2
    0.850146563307822-1.57079632675     		φ = -0.72064976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.70333019} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.297851°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72064976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.290190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50864 KachelY 82070 -0.70333019 -0.72064976 -40.297851 -41.290190
    Oben rechts KachelX + 1 50865 KachelY 82070 -0.70328225 -0.72064976 -40.295105 -41.290190
    Unten links KachelX 50864 KachelY + 1 82071 -0.70333019 -0.72068578 -40.297851 -41.292254
    Unten rechts KachelX + 1 50865 KachelY + 1 82071 -0.70328225 -0.72068578 -40.295105 -41.292254
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72064976--0.72068578) × R
    3.60200000000255e-05 × 6371000     		dl = 229.483420000162m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72064976--0.72068578) × R
    3.60200000000255e-05 × 6371000     		dr = 229.483420000162m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.70333019--0.70328225) × cos(-0.72064976) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.751377128684887 × 6371000     		do = 229.489915547506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.70333019--0.70328225) × cos(-0.72068578) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.751353359571061 × 6371000     		du = 229.482655848327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72064976)-sin(-0.72068578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.751377128684887-0.751353359571061)×R²
    abs(-0.70328225--0.70333019)×2.37691138261775e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37691138261775e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37691138261775e-05×40589641000000     		ar = 52663.2976907888m²