Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50863 / 48764
↖ ↑ ↗
← S 65.649217°
E 99.398804°		 ← 251.84 m → S 65.649217°
E 99.404297°		 →
↑
251.78 m
↓
↑
251.78 m
↓
S 65.651481°
E 99.398804°		 ← 251.82 m →
63 406 m²		 S 65.651481°
E 99.404297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50863 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776115417480469 y=0.744087219238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776115417480469 × 216)
    floor (0.776115417480469 × 65536)
    floor (50863.5)     		tx = 50863
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744087219238281 × 216)
    floor (0.744087219238281 × 65536)
    floor (48764.5)     		ty = 48764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50863 / 48764 ti = "16/50863/48764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50863/48764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50863 ÷ 216
    50863 ÷ 65536     		x = 0.776107788085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48764 ÷ 216
    48764 ÷ 65536     		y = 0.74407958984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776107788085938 × 2 - 1) × π
    0.552215576171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.73483640
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74407958984375 × 2 - 1) × π
    -0.4881591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.53359729264484
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73483640} λ = 1.73483640}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53359729264484))-π/2
    2×atan(0.215758124515608)-π/2
    2×0.212500675577613-π/2
    0.425001351155225-1.57079632675     		φ = -1.14579498
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73483640} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.398804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14579498 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.649217°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50863 KachelY 48764 1.73483640 -1.14579498 99.398804 -65.649217
    Oben rechts KachelX + 1 50864 KachelY 48764 1.73493227 -1.14579498 99.404297 -65.649217
    Unten links KachelX 50863 KachelY + 1 48765 1.73483640 -1.14583450 99.398804 -65.651481
    Unten rechts KachelX + 1 50864 KachelY + 1 48765 1.73493227 -1.14583450 99.404297 -65.651481
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14579498--1.14583450) × R
    3.95200000000706e-05 × 6371000     		dl = 251.78192000045m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14579498--1.14583450) × R
    3.95200000000706e-05 × 6371000     		dr = 251.78192000045m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73483640-1.73493227) × cos(-1.14579498) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.412322008725367 × 6371000     		do = 251.841240231282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73483640-1.73493227) × cos(-1.14583450) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.412286004174607 × 6371000     		du = 251.819249092014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14579498)-sin(-1.14583450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412322008725367-0.412286004174607)×R²
    abs(1.73493227-1.73483640)×3.6004550759583e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.6004550759583e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.6004550759583e-05×40589641000000     		ar = 63406.3025232298m²