Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50861 / 48808
↖ ↑ ↗
← S 65.748683°
E 99.387817°		 ← 250.87 m → S 65.748683°
E 99.393310°		 →
↑
250.83 m
↓
↑
250.83 m
↓
S 65.750939°
E 99.387817°		 ← 250.85 m →
62 923 m²		 S 65.750939°
E 99.393310°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776084899902344 y=0.744758605957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776084899902344 × 216)
    floor (0.776084899902344 × 65536)
    floor (50861.5)     		tx = 50861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744758605957031 × 216)
    floor (0.744758605957031 × 65536)
    floor (48808.5)     		ty = 48808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50861 / 48808 ti = "16/50861/48808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50861/48808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50861 ÷ 216
    50861 ÷ 65536     		x = 0.776077270507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48808 ÷ 216
    48808 ÷ 65536     		y = 0.7447509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.776077270507812 × 2 - 1) × π
    0.552154541015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73464465
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7447509765625 × 2 - 1) × π
    -0.489501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5378157398114
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73464465} λ = 1.73464465}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5378157398114))-π/2
    2×atan(0.214849877309885)-π/2
    2×0.211632665723307-π/2
    0.423265331446614-1.57079632675     		φ = -1.14753100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73464465} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.387817°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14753100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.748683°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50861 KachelY 48808 1.73464465 -1.14753100 99.387817 -65.748683
    Oben rechts KachelX + 1 50862 KachelY 48808 1.73474052 -1.14753100 99.393310 -65.748683
    Unten links KachelX 50861 KachelY + 1 48809 1.73464465 -1.14757037 99.387817 -65.750939
    Unten rechts KachelX + 1 50862 KachelY + 1 48809 1.73474052 -1.14757037 99.393310 -65.750939
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14753100--1.14757037) × R
    3.9369999999872e-05 × 6371000     		dl = 250.826269999185m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14753100--1.14757037) × R
    3.9369999999872e-05 × 6371000     		dr = 250.826269999185m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73464465-1.73474052) × cos(-1.14753100) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.410739807701882 × 6371000     		do = 250.874851196456m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73464465-1.73474052) × cos(-1.14757037) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.410703911683561 × 6371000     		du = 250.852926347473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14753100)-sin(-1.14757037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410739807701882-0.410703911683561)×R²
    abs(1.73474052-1.73464465)×3.58960183213242e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.58960183213242e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.58960183213242e-05×40589641000000     		ar = 62923.2535060436m²