Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5086 / 1274
↖ ↑ ↗
← N 76.900709°
E 43.505859°		 ← 1 107.47 m → N 76.900709°
E 43.549805°		 →
↑
1 107.92 m
↓
↑
1 107.92 m
↓
N 76.890745°
E 43.505859°		 ← 1 108.30 m →
1 227 445 m²		 N 76.890745°
E 43.549805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1274 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62091064453125 y=0.15557861328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62091064453125 × 213)
    floor (0.62091064453125 × 8192)
    floor (5086.5)     		tx = 5086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.15557861328125 × 213)
    floor (0.15557861328125 × 8192)
    floor (1274.5)     		ty = 1274
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5086 / 1274 ti = "13/5086/1274"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5086/1274.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5086 ÷ 213
    5086 ÷ 8192     		x = 0.620849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1274 ÷ 213
    1274 ÷ 8192     		y = 0.155517578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.620849609375 × 2 - 1) × π
    0.24169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.75932049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.155517578125 × 2 - 1) × π
    0.68896484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.16444689164478
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75932049} λ = 0.75932049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.16444689164478))-π/2
    2×atan(8.70978313049692)-π/2
    2×1.4564834473277-π/2
    2.91296689465539-1.57079632675     		φ = 1.34217057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75932049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.505859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34217057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.900709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5086 KachelY 1274 0.75932049 1.34217057 43.505859 76.900709
    Oben rechts KachelX + 1 5087 KachelY 1274 0.76008748 1.34217057 43.549805 76.900709
    Unten links KachelX 5086 KachelY + 1 1275 0.75932049 1.34199667 43.505859 76.890745
    Unten rechts KachelX + 1 5087 KachelY + 1 1275 0.76008748 1.34199667 43.549805 76.890745
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34217057-1.34199667) × R
    0.00017390000000006 × 6371000     		dl = 1107.91690000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34217057-1.34199667) × R
    0.00017390000000006 × 6371000     		dr = 1107.91690000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75932049-0.76008748) × cos(1.34217057) × R
    0.000766990000000023 × 0.226639254256175 × 6371000     		do = 1107.47119517344m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75932049-0.76008748) × cos(1.34199667) × R
    0.000766990000000023 × 0.226808625736861 × 6371000     		du = 1108.29882777732m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34217057)-sin(1.34199667))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.226639254256175-0.226808625736861)×R²
    abs(0.76008748-0.75932049)×0.000169371480685576×R²
    0.000766990000000023×0.000169371480685576×6371000²
    0.000766990000000023×0.000169371480685576×40589641000000     		ar = 1227444.53056439m²