Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50856 / 48801
↖ ↑ ↗
← S 65.732884°
E 99.360352°		 ← 251.03 m → S 65.732884°
E 99.365844°		 →
↑
251.02 m
↓
↑
251.02 m
↓
S 65.735142°
E 99.360352°		 ← 251.01 m →
63 010 m²		 S 65.735142°
E 99.365844°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50856 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48801 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.776008605957031 y=0.744651794433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.776008605957031 × 216)
    floor (0.776008605957031 × 65536)
    floor (50856.5)     		tx = 50856
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744651794433594 × 216)
    floor (0.744651794433594 × 65536)
    floor (48801.5)     		ty = 48801
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50856 / 48801 ti = "16/50856/48801"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50856/48801.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50856 ÷ 216
    50856 ÷ 65536     		x = 0.7760009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48801 ÷ 216
    48801 ÷ 65536     		y = 0.744644165039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7760009765625 × 2 - 1) × π
    0.552001953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73416528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744644165039062 × 2 - 1) × π
    -0.489288330078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53714462321672
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73416528} λ = 1.73416528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53714462321672))-π/2
    2×atan(0.21499411502266)-π/2
    2×0.211770535049794-π/2
    0.423541070099589-1.57079632675     		φ = -1.14725526
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73416528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.360352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14725526 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.732884°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50856 KachelY 48801 1.73416528 -1.14725526 99.360352 -65.732884
    Oben rechts KachelX + 1 50857 KachelY 48801 1.73426115 -1.14725526 99.365844 -65.732884
    Unten links KachelX 50856 KachelY + 1 48802 1.73416528 -1.14729466 99.360352 -65.735142
    Unten rechts KachelX + 1 50857 KachelY + 1 48802 1.73426115 -1.14729466 99.365844 -65.735142
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14725526--1.14729466) × R
    3.93999999999117e-05 × 6371000     		dl = 251.017399999438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14725526--1.14729466) × R
    3.93999999999117e-05 × 6371000     		dr = 251.017399999438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73416528-1.73426115) × cos(-1.14725526) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.410991198746846 × 6371000     		do = 251.028397772207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73416528-1.73426115) × cos(-1.14729466) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.410955279838973 × 6371000     		du = 251.006458942567m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14725526)-sin(-1.14729466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410991198746846-0.410955279838973)×R²
    abs(1.73426115-1.73416528)×3.59189078729116e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.59189078729116e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.59189078729116e-05×40589641000000     		ar = 63009.7422286057m²