Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50855 / 48802
↖ ↑ ↗
← S 65.735142°
E 99.354859°		 ← 251.01 m → S 65.735142°
E 99.360352°		 →
↑
251.02 m
↓
↑
251.02 m
↓
S 65.737399°
E 99.354859°		 ← 250.98 m →
63 004 m²		 S 65.737399°
E 99.360352°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50855 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775993347167969 y=0.744667053222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775993347167969 × 216)
    floor (0.775993347167969 × 65536)
    floor (50855.5)     		tx = 50855
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744667053222656 × 216)
    floor (0.744667053222656 × 65536)
    floor (48802.5)     		ty = 48802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50855 / 48802 ti = "16/50855/48802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50855/48802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50855 ÷ 216
    50855 ÷ 65536     		x = 0.775985717773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48802 ÷ 216
    48802 ÷ 65536     		y = 0.744659423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775985717773438 × 2 - 1) × π
    0.551971435546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.73406941
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744659423828125 × 2 - 1) × π
    -0.48931884765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.53724049701596
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73406941} λ = 1.73406941}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53724049701596))-π/2
    2×atan(0.214973503708097)-π/2
    2×0.211750834266776-π/2
    0.423501668533551-1.57079632675     		φ = -1.14729466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73406941} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.354859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14729466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.735142°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50855 KachelY 48802 1.73406941 -1.14729466 99.354859 -65.735142
    Oben rechts KachelX + 1 50856 KachelY 48802 1.73416528 -1.14729466 99.360352 -65.735142
    Unten links KachelX 50855 KachelY + 1 48803 1.73406941 -1.14733406 99.354859 -65.737399
    Unten rechts KachelX + 1 50856 KachelY + 1 48803 1.73416528 -1.14733406 99.360352 -65.737399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14729466--1.14733406) × R
    3.93999999999117e-05 × 6371000     		dl = 251.017399999438m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14729466--1.14733406) × R
    3.93999999999117e-05 × 6371000     		dr = 251.017399999438m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73406941-1.73416528) × cos(-1.14729466) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.410955279838973 × 6371000     		do = 251.006458942567m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73406941-1.73416528) × cos(-1.14733406) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.410919360293149 × 6371000     		du = 250.984519723274m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14729466)-sin(-1.14733406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410955279838973-0.410919360293149)×R²
    abs(1.73416528-1.73406941)×3.59195458234929e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.59195458234929e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.59195458234929e-05×40589641000000     		ar = 63004.2351523096m²