Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50853 / 48670
↖ ↑ ↗
← S 65.435435°
E 99.343872°		 ← 253.92 m → S 65.435435°
E 99.349365°		 →
↑
253.88 m
↓
↑
253.88 m
↓
S 65.437718°
E 99.343872°		 ← 253.89 m →
64 462 m²		 S 65.437718°
E 99.349365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50853 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775962829589844 y=0.742652893066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775962829589844 × 216)
    floor (0.775962829589844 × 65536)
    floor (50853.5)     		tx = 50853
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742652893066406 × 216)
    floor (0.742652893066406 × 65536)
    floor (48670.5)     		ty = 48670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50853 / 48670 ti = "16/50853/48670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50853/48670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50853 ÷ 216
    50853 ÷ 65536     		x = 0.775955200195312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48670 ÷ 216
    48670 ÷ 65536     		y = 0.742645263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775955200195312 × 2 - 1) × π
    0.551910400390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73387766
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742645263671875 × 2 - 1) × π
    -0.48529052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.52458515551627
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73387766} λ = 1.73387766}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52458515551627))-π/2
    2×atan(0.217711354488658)-π/2
    2×0.214366270697146-π/2
    0.428732541394291-1.57079632675     		φ = -1.14206379
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73387766} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.343872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14206379 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.435435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50853 KachelY 48670 1.73387766 -1.14206379 99.343872 -65.435435
    Oben rechts KachelX + 1 50854 KachelY 48670 1.73397353 -1.14206379 99.349365 -65.435435
    Unten links KachelX 50853 KachelY + 1 48671 1.73387766 -1.14210364 99.343872 -65.437718
    Unten rechts KachelX + 1 50854 KachelY + 1 48671 1.73397353 -1.14210364 99.349365 -65.437718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14206379--1.14210364) × R
    3.98500000000634e-05 × 6371000     		dl = 253.884350000404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14206379--1.14210364) × R
    3.98500000000634e-05 × 6371000     		dr = 253.884350000404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73387766-1.73397353) × cos(-1.14206379) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.415718387251551 × 6371000     		do = 253.915706697366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73387766-1.73397353) × cos(-1.14210364) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.415682143609971 × 6371000     		du = 253.893569524348m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14206379)-sin(-1.14210364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415718387251551-0.415682143609971)×R²
    abs(1.73397353-1.73387766)×3.62436415804468e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.62436415804468e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.62436415804468e-05×40589641000000     		ar = 64462.4140173161m²