Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 5085 / 1223
↖ ↑ ↗
← N 77.399095°
E 43.461914°		 ← 1 066.03 m → N 77.399095°
E 43.505859°		 →
↑
1 066.44 m
↓
↑
1 066.44 m
↓
N 77.389504°
E 43.461914°		 ← 1 066.83 m →
1 137 285 m²		 N 77.389504°
E 43.505859°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.62078857421875 y=0.14935302734375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.62078857421875 × 213)
    floor (0.62078857421875 × 8192)
    floor (5085.5)     		tx = 5085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14935302734375 × 213)
    floor (0.14935302734375 × 8192)
    floor (1223.5)     		ty = 1223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5085 / 1223 ti = "13/5085/1223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5085/1223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5085 ÷ 213
    5085 ÷ 8192     		x = 0.6207275390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1223 ÷ 213
    1223 ÷ 8192     		y = 0.1492919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6207275390625 × 2 - 1) × π
    0.241455078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.75855350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1492919921875 × 2 - 1) × π
    0.701416015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.20356340173474
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.75855350} λ = 0.75855350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.20356340173474))-π/2
    2×atan(9.05723061536685)-π/2
    2×1.46083268319839-π/2
    2.92166536639678-1.57079632675     		φ = 1.35086904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.75855350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 43.461914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35086904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.399095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5085 KachelY 1223 0.75855350 1.35086904 43.461914 77.399095
    Oben rechts KachelX + 1 5086 KachelY 1223 0.75932049 1.35086904 43.505859 77.399095
    Unten links KachelX 5085 KachelY + 1 1224 0.75855350 1.35070165 43.461914 77.389504
    Unten rechts KachelX + 1 5086 KachelY + 1 1224 0.75932049 1.35070165 43.505859 77.389504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35086904-1.35070165) × R
    0.000167390000000101 × 6371000     		dl = 1066.44169000064m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35086904-1.35070165) × R
    0.000167390000000101 × 6371000     		dr = 1066.44169000064m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.75855350-0.75932049) × cos(1.35086904) × R
    0.000766990000000023 × 0.218158661872626 × 6371000     		do = 1066.030837396m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.75855350-0.75932049) × cos(1.35070165) × R
    0.000766990000000023 × 0.21832201694531 × 6371000     		du = 1066.82907086255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35086904)-sin(1.35070165))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.218158661872626-0.21832201694531)×R²
    abs(0.75932049-0.75855350)×0.000163355072684002×R²
    0.000766990000000023×0.000163355072684002×6371000²
    0.000766990000000023×0.000163355072684002×40589641000000     		ar = 1137285.36520361m²