Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50849 / 48803
↖ ↑ ↗
← S 65.737399°
E 99.321899°		 ← 251.01 m → S 65.737399°
E 99.327393°		 →
↑
250.95 m
↓
↑
250.95 m
↓
S 65.739656°
E 99.321899°		 ← 250.99 m →
62 989 m²		 S 65.739656°
E 99.327393°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48803 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775901794433594 y=0.744682312011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775901794433594 × 216)
    floor (0.775901794433594 × 65536)
    floor (50849.5)     		tx = 50849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744682312011719 × 216)
    floor (0.744682312011719 × 65536)
    floor (48803.5)     		ty = 48803
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50849 / 48803 ti = "16/50849/48803"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50849/48803.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50849 ÷ 216
    50849 ÷ 65536     		x = 0.775894165039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48803 ÷ 216
    48803 ÷ 65536     		y = 0.744674682617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775894165039062 × 2 - 1) × π
    0.551788330078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73349416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744674682617188 × 2 - 1) × π
    -0.489349365234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.5373363708152
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73349416} λ = 1.73349416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5373363708152))-π/2
    2×atan(0.214952894369524)-π/2
    2×0.211731135205607-π/2
    0.423462270411213-1.57079632675     		φ = -1.14733406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73349416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.321899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14733406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.737399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50849 KachelY 48803 1.73349416 -1.14733406 99.321899 -65.737399
    Oben rechts KachelX + 1 50850 KachelY 48803 1.73359004 -1.14733406 99.327393 -65.737399
    Unten links KachelX 50849 KachelY + 1 48804 1.73349416 -1.14737345 99.321899 -65.739656
    Unten rechts KachelX + 1 50850 KachelY + 1 48804 1.73359004 -1.14737345 99.327393 -65.739656
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14733406--1.14737345) × R
    3.93899999999725e-05 × 6371000     		dl = 250.953689999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14733406--1.14737345) × R
    3.93899999999725e-05 × 6371000     		dr = 250.953689999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73349416-1.73359004) × cos(-1.14733406) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.410919360293149 × 6371000     		do = 251.010699395559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73349416-1.73359004) × cos(-1.14737345) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.41088344922631 × 6371000     		du = 250.988763067232m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14733406)-sin(-1.14737345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.410919360293149-0.41088344922631)×R²
    abs(1.73359004-1.73349416)×3.5911066839478e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.5911066839478e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.5911066839478e-05×40589641000000     		ar = 62989.3087494541m²