Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50849 / 48669
↖ ↑ ↗
← S 65.433151°
E 99.321899°		 ← 253.96 m → S 65.433151°
E 99.327393°		 →
↑
253.95 m
↓
↑
253.95 m
↓
S 65.435435°
E 99.321899°		 ← 253.94 m →
64 491 m²		 S 65.435435°
E 99.327393°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775901794433594 y=0.742637634277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775901794433594 × 216)
    floor (0.775901794433594 × 65536)
    floor (50849.5)     		tx = 50849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742637634277344 × 216)
    floor (0.742637634277344 × 65536)
    floor (48669.5)     		ty = 48669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50849 / 48669 ti = "16/50849/48669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50849/48669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50849 ÷ 216
    50849 ÷ 65536     		x = 0.775894165039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48669 ÷ 216
    48669 ÷ 65536     		y = 0.742630004882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775894165039062 × 2 - 1) × π
    0.551788330078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73349416
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742630004882812 × 2 - 1) × π
    -0.485260009765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52448928171703
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73349416} λ = 1.73349416}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52448928171703))-π/2
    2×atan(0.217732228303961)-π/2
    2×0.214386199816804-π/2
    0.428772399633607-1.57079632675     		φ = -1.14202393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73349416} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.321899°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14202393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.433151°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50849 KachelY 48669 1.73349416 -1.14202393 99.321899 -65.433151
    Oben rechts KachelX + 1 50850 KachelY 48669 1.73359004 -1.14202393 99.327393 -65.433151
    Unten links KachelX 50849 KachelY + 1 48670 1.73349416 -1.14206379 99.321899 -65.435435
    Unten rechts KachelX + 1 50850 KachelY + 1 48670 1.73359004 -1.14206379 99.327393 -65.435435
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14202393--1.14206379) × R
    3.98600000000027e-05 × 6371000     		dl = 253.948060000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14202393--1.14206379) × R
    3.98600000000027e-05 × 6371000     		dr = 253.948060000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73349416-1.73359004) × cos(-1.14202393) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.415754639327729 × 6371000     		do = 253.964336750043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73349416-1.73359004) × cos(-1.14206379) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.415718387251551 × 6371000     		du = 253.942192115657m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14202393)-sin(-1.14206379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415754639327729-0.415718387251551)×R²
    abs(1.73359004-1.73349416)×3.62520761784113e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.62520761784113e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.62520761784113e-05×40589641000000     		ar = 64490.9388420009m²