Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50848 / 48800
↖ ↑ ↗
← S 65.730626°
E 99.316406°		 ← 251.05 m → S 65.730626°
E 99.321899°		 →
↑
251.08 m
↓
↑
251.08 m
↓
S 65.732884°
E 99.316406°		 ← 251.03 m →
63 031 m²		 S 65.732884°
E 99.321899°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775886535644531 y=0.744636535644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775886535644531 × 216)
    floor (0.775886535644531 × 65536)
    floor (50848.5)     		tx = 50848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744636535644531 × 216)
    floor (0.744636535644531 × 65536)
    floor (48800.5)     		ty = 48800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50848 / 48800 ti = "16/50848/48800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50848/48800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50848 ÷ 216
    50848 ÷ 65536     		x = 0.77587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48800 ÷ 216
    48800 ÷ 65536     		y = 0.74462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77587890625 × 2 - 1) × π
    0.5517578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73339829
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74462890625 × 2 - 1) × π
    -0.4892578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53704874941748
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73339829} λ = 1.73339829}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53704874941748))-π/2
    2×atan(0.215014728313403)-π/2
    2×0.211790237554783-π/2
    0.423580475109565-1.57079632675     		φ = -1.14721585
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73339829} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.316406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14721585 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.730626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50848 KachelY 48800 1.73339829 -1.14721585 99.316406 -65.730626
    Oben rechts KachelX + 1 50849 KachelY 48800 1.73349416 -1.14721585 99.321899 -65.730626
    Unten links KachelX 50848 KachelY + 1 48801 1.73339829 -1.14725526 99.316406 -65.732884
    Unten rechts KachelX + 1 50849 KachelY + 1 48801 1.73349416 -1.14725526 99.321899 -65.732884
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14721585--1.14725526) × R
    3.9410000000073e-05 × 6371000     		dl = 251.081110000465m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14721585--1.14725526) × R
    3.9410000000073e-05 × 6371000     		dr = 251.081110000465m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73339829-1.73349416) × cos(-1.14721585) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.411027126132944 × 6371000     		do = 251.050341780244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73339829-1.73349416) × cos(-1.14725526) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.410991198746846 × 6371000     		du = 251.028397772207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14721585)-sin(-1.14725526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411027126132944-0.410991198746846)×R²
    abs(1.73349416-1.73339829)×3.59273860979781e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.59273860979781e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.59273860979781e-05×40589641000000     		ar = 63031.2436257308m²