Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50841 / 48779
↖ ↑ ↗
← S 65.683168°
E 99.277954°		 ← 251.54 m → S 65.683168°
E 99.283447°		 →
↑
251.53 m
↓
↑
251.53 m
↓
S 65.685430°
E 99.277954°		 ← 251.52 m →
63 266 m²		 S 65.685430°
E 99.283447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48779 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775779724121094 y=0.744316101074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775779724121094 × 216)
    floor (0.775779724121094 × 65536)
    floor (50841.5)     		tx = 50841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744316101074219 × 216)
    floor (0.744316101074219 × 65536)
    floor (48779.5)     		ty = 48779
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50841 / 48779 ti = "16/50841/48779"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50841/48779.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50841 ÷ 216
    50841 ÷ 65536     		x = 0.775772094726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48779 ÷ 216
    48779 ÷ 65536     		y = 0.744308471679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775772094726562 × 2 - 1) × π
    0.551544189453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73272717
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744308471679688 × 2 - 1) × π
    -0.488616943359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53503539963344
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73272717} λ = 1.73272717}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53503539963344))-π/2
    2×atan(0.215448064252248)-π/2
    2×0.212204388146851-π/2
    0.424408776293701-1.57079632675     		φ = -1.14638755
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73272717} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.277954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14638755 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.683168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50841 KachelY 48779 1.73272717 -1.14638755 99.277954 -65.683168
    Oben rechts KachelX + 1 50842 KachelY 48779 1.73282305 -1.14638755 99.283447 -65.683168
    Unten links KachelX 50841 KachelY + 1 48780 1.73272717 -1.14642703 99.277954 -65.685430
    Unten rechts KachelX + 1 50842 KachelY + 1 48780 1.73282305 -1.14642703 99.283447 -65.685430
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14638755--1.14642703) × R
    3.94799999998696e-05 × 6371000     		dl = 251.527079999169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14638755--1.14642703) × R
    3.94799999998696e-05 × 6371000     		dr = 251.527079999169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73272717-1.73282305) × cos(-1.14638755) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.411782082472827 × 6371000     		do = 251.537694515843m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73272717-1.73282305) × cos(-1.14642703) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.411746104724847 × 6371000     		du = 251.515717455243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14638755)-sin(-1.14642703))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411782082472827-0.411746104724847)×R²
    abs(1.73282305-1.73272717)×3.59777479793655e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.59777479793655e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.59777479793655e-05×40589641000000     		ar = 63265.7779065703m²