Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 50838 / 82126
↖ ↑ ↗
← S 41.405656°
W 40.369263°		 ← 229.08 m → S 41.405656°
W 40.366516°		 →
↑
229.10 m
↓
↑
229.10 m
↓
S 41.407716°
W 40.369263°		 ← 229.08 m →
52 482 m²		 S 41.407716°
W 40.366516°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.387866973876953 y=0.626575469970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.387866973876953 × 217)
    floor (0.387866973876953 × 131072)
    floor (50838.5)     		tx = 50838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626575469970703 × 217)
    floor (0.626575469970703 × 131072)
    floor (82126.5)     		ty = 82126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50838 / 82126 ti = "17/50838/82126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50838/82126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50838 ÷ 217
    50838 ÷ 131072     		x = 0.387863159179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82126 ÷ 217
    82126 ÷ 131072     		y = 0.626571655273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.387863159179688 × 2 - 1) × π
    -0.224273681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.70457655
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626571655273438 × 2 - 1) × π
    -0.253143310546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.795273164696732
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.70457655} λ = -0.70457655}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.795273164696732))-π/2
    2×atan(0.45145789571823)-π/2
    2×0.424065651744904-π/2
    0.848131303489808-1.57079632675     		φ = -0.72266502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.70457655} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.369263°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72266502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.405656°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50838 KachelY 82126 -0.70457655 -0.72266502 -40.369263 -41.405656
    Oben rechts KachelX + 1 50839 KachelY 82126 -0.70452861 -0.72266502 -40.366516 -41.405656
    Unten links KachelX 50838 KachelY + 1 82127 -0.70457655 -0.72270098 -40.369263 -41.407716
    Unten rechts KachelX + 1 50839 KachelY + 1 82127 -0.70452861 -0.72270098 -40.366516 -41.407716
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72266502--0.72270098) × R
    3.59600000000571e-05 × 6371000     		dl = 229.101160000364m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72266502--0.72270098) × R
    3.59600000000571e-05 × 6371000     		dr = 229.101160000364m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.70457655--0.70452861) × cos(-0.72266502) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.750045788097306 × 6371000     		do = 229.083289863353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.70457655--0.70452861) × cos(-0.72270098) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.750022004175206 × 6371000     		du = 229.076025641345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72266502)-sin(-0.72270098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750045788097306-0.750022004175206)×R²
    abs(-0.70452861--0.70457655)×2.3783922100451e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3783922100451e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3783922100451e-05×40589641000000     		ar = 52482.4153292752m²