Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50832 / 48784
↖ ↑ ↗
← S 65.694476°
E 99.228516°		 ← 251.40 m → S 65.694476°
E 99.234009°		 →
↑
251.40 m
↓
↑
251.40 m
↓
S 65.696737°
E 99.228516°		 ← 251.38 m →
63 200 m²		 S 65.696737°
E 99.234009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48784 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775642395019531 y=0.744392395019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775642395019531 × 216)
    floor (0.775642395019531 × 65536)
    floor (50832.5)     		tx = 50832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744392395019531 × 216)
    floor (0.744392395019531 × 65536)
    floor (48784.5)     		ty = 48784
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50832 / 48784 ti = "16/50832/48784"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50832/48784.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50832 ÷ 216
    50832 ÷ 65536     		x = 0.775634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48784 ÷ 216
    48784 ÷ 65536     		y = 0.744384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775634765625 × 2 - 1) × π
    0.55126953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73186431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744384765625 × 2 - 1) × π
    -0.48876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53551476862964
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73186431} λ = 1.73186431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53551476862964))-π/2
    2×atan(0.215344809880404)-π/2
    2×0.212105711920292-π/2
    0.424211423840584-1.57079632675     		φ = -1.14658490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73186431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.228516°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14658490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.694476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50832 KachelY 48784 1.73186431 -1.14658490 99.228516 -65.694476
    Oben rechts KachelX + 1 50833 KachelY 48784 1.73196018 -1.14658490 99.234009 -65.694476
    Unten links KachelX 50832 KachelY + 1 48785 1.73186431 -1.14662436 99.228516 -65.696737
    Unten rechts KachelX + 1 50833 KachelY + 1 48785 1.73196018 -1.14662436 99.234009 -65.696737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14658490--1.14662436) × R
    3.94599999999912e-05 × 6371000     		dl = 251.399659999944m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14658490--1.14662436) × R
    3.94599999999912e-05 × 6371000     		dr = 251.399659999944m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73186431-1.73196018) × cos(-1.14658490) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.411602232883906 × 6371000     		do = 251.401609950176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73186431-1.73196018) × cos(-1.14662436) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.411566270156014 × 6371000     		du = 251.379644355804m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14658490)-sin(-1.14662436))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.411602232883906-0.411566270156014)×R²
    abs(1.73196018-1.73186431)×3.59627278917474e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.59627278917474e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.59627278917474e-05×40589641000000     		ar = 63199.5182017306m²