Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50828 / 48228
↖ ↑ ↗
← S 64.406432°
E 99.206543°		 ← 263.88 m → S 64.406432°
E 99.212036°		 →
↑
263.82 m
↓
↑
263.82 m
↓
S 64.408804°
E 99.206543°		 ← 263.86 m →
69 614 m²		 S 64.408804°
E 99.212036°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50828 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48228 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775581359863281 y=0.735908508300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775581359863281 × 216)
    floor (0.775581359863281 × 65536)
    floor (50828.5)     		tx = 50828
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.735908508300781 × 216)
    floor (0.735908508300781 × 65536)
    floor (48228.5)     		ty = 48228
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50828 / 48228 ti = "16/50828/48228"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50828/48228.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50828 ÷ 216
    50828 ÷ 65536     		x = 0.77557373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48228 ÷ 216
    48228 ÷ 65536     		y = 0.73590087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77557373046875 × 2 - 1) × π
    0.5511474609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.73148081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73590087890625 × 2 - 1) × π
    -0.4718017578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.48220893625214
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73148081} λ = 1.73148081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48220893625214))-π/2
    2×atan(0.227135406200487)-π/2
    2×0.223346020843888-π/2
    0.446692041687776-1.57079632675     		φ = -1.12410429
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73148081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.206543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12410429 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.406432°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50828 KachelY 48228 1.73148081 -1.12410429 99.206543 -64.406432
    Oben rechts KachelX + 1 50829 KachelY 48228 1.73157669 -1.12410429 99.212036 -64.406432
    Unten links KachelX 50828 KachelY + 1 48229 1.73148081 -1.12414570 99.206543 -64.408804
    Unten rechts KachelX + 1 50829 KachelY + 1 48229 1.73157669 -1.12414570 99.212036 -64.408804
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12410429--1.12414570) × R
    4.14099999999085e-05 × 6371000     		dl = 263.823109999417m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12410429--1.12414570) × R
    4.14099999999085e-05 × 6371000     		dr = 263.823109999417m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73148081-1.73157669) × cos(-1.12410429) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.431984513831638 × 6371000     		do = 263.878379610964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73148081-1.73157669) × cos(-1.12414570) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.431947166568102 × 6371000     		du = 263.855565979759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12410429)-sin(-1.12414570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431984513831638-0.431947166568102)×R²
    abs(1.73157669-1.73148081)×3.73472635363803e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.73472635363803e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.73472635363803e-05×40589641000000     		ar = 69614.2053989641m²