Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50827 / 48263
↖ ↑ ↗
← S 64.489359°
E 99.201050°		 ← 263.05 m → S 64.489359°
E 99.206543°		 →
↑
263.06 m
↓
↑
263.06 m
↓
S 64.491725°
E 99.201050°		 ← 263.03 m →
69 195 m²		 S 64.491725°
E 99.206543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50827 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775566101074219 y=0.736442565917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775566101074219 × 216)
    floor (0.775566101074219 × 65536)
    floor (50827.5)     		tx = 50827
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736442565917969 × 216)
    floor (0.736442565917969 × 65536)
    floor (48263.5)     		ty = 48263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50827 / 48263 ti = "16/50827/48263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50827/48263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50827 ÷ 216
    50827 ÷ 65536     		x = 0.775558471679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48263 ÷ 216
    48263 ÷ 65536     		y = 0.736434936523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775558471679688 × 2 - 1) × π
    0.551116943359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.73138494
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736434936523438 × 2 - 1) × π
    -0.472869873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.48556451922554
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73138494} λ = 1.73138494}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48556451922554))-π/2
    2×atan(0.226374511834841)-π/2
    2×0.222622336758187-π/2
    0.445244673516374-1.57079632675     		φ = -1.12555165
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73138494} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.201050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12555165 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.489359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50827 KachelY 48263 1.73138494 -1.12555165 99.201050 -64.489359
    Oben rechts KachelX + 1 50828 KachelY 48263 1.73148081 -1.12555165 99.206543 -64.489359
    Unten links KachelX 50827 KachelY + 1 48264 1.73138494 -1.12559294 99.201050 -64.491725
    Unten rechts KachelX + 1 50828 KachelY + 1 48264 1.73148081 -1.12559294 99.206543 -64.491725
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12555165--1.12559294) × R
    4.12899999999716e-05 × 6371000     		dl = 263.058589999819m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12555165--1.12559294) × R
    4.12899999999716e-05 × 6371000     		dr = 263.058589999819m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73138494-1.73148081) × cos(-1.12555165) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.4306787152983 × 6371000     		do = 263.053292103508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73138494-1.73148081) × cos(-1.12559294) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.430641450486717 × 6371000     		du = 263.030531212341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12555165)-sin(-1.12559294))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.4306787152983-0.430641450486717)×R²
    abs(1.73148081-1.73138494)×3.72648115835039e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.72648115835039e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.72648115835039e-05×40589641000000     		ar = 69195.4344014685m²