Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50826 / 49293
↖ ↑ ↗
← S 66.820035°
E 99.195557°		 ← 240.42 m → S 66.820035°
E 99.201050°		 →
↑
240.38 m
↓
↑
240.38 m
↓
S 66.822196°
E 99.195557°		 ← 240.40 m →
57 789 m²		 S 66.822196°
E 99.201050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775550842285156 y=0.752159118652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775550842285156 × 216)
    floor (0.775550842285156 × 65536)
    floor (50826.5)     		tx = 50826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752159118652344 × 216)
    floor (0.752159118652344 × 65536)
    floor (49293.5)     		ty = 49293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50826 / 49293 ti = "16/50826/49293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50826/49293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50826 ÷ 216
    50826 ÷ 65536     		x = 0.775543212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49293 ÷ 216
    49293 ÷ 65536     		y = 0.752151489257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775543212890625 × 2 - 1) × π
    0.55108642578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73128907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752151489257812 × 2 - 1) × π
    -0.504302978515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58431453244286
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73128907} λ = 1.73128907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58431453244286))-π/2
    2×atan(0.205088326339867)-π/2
    2×0.20228335953718-π/2
    0.404566719074361-1.57079632675     		φ = -1.16622961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73128907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.195557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16622961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.820035°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50826 KachelY 49293 1.73128907 -1.16622961 99.195557 -66.820035
    Oben rechts KachelX + 1 50827 KachelY 49293 1.73138494 -1.16622961 99.201050 -66.820035
    Unten links KachelX 50826 KachelY + 1 49294 1.73128907 -1.16626734 99.195557 -66.822196
    Unten rechts KachelX + 1 50827 KachelY + 1 49294 1.73138494 -1.16626734 99.201050 -66.822196
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16622961--1.16626734) × R
    3.77300000000691e-05 × 6371000     		dl = 240.37783000044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16622961--1.16626734) × R
    3.77300000000691e-05 × 6371000     		dr = 240.37783000044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73128907-1.73138494) × cos(-1.16622961) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.393620491765354 × 6371000     		do = 240.418582391659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73128907-1.73138494) × cos(-1.16626734) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.393585807313672 × 6371000     		du = 240.397397552762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16622961)-sin(-1.16626734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393620491765354-0.393585807313672)×R²
    abs(1.73138494-1.73128907)×3.46844516815881e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.46844516815881e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.46844516815881e-05×40589641000000     		ar = 57788.7509512041m²