Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50826 / 48766
↖ ↑ ↗
← S 65.653746°
E 99.195557°		 ← 251.80 m → S 65.653746°
E 99.201050°		 →
↑
251.78 m
↓
↑
251.78 m
↓
S 65.656010°
E 99.195557°		 ← 251.78 m →
63 395 m²		 S 65.656010°
E 99.201050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50826 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775550842285156 y=0.744117736816406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775550842285156 × 216)
    floor (0.775550842285156 × 65536)
    floor (50826.5)     		tx = 50826
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744117736816406 × 216)
    floor (0.744117736816406 × 65536)
    floor (48766.5)     		ty = 48766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50826 / 48766 ti = "16/50826/48766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50826/48766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50826 ÷ 216
    50826 ÷ 65536     		x = 0.775543212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48766 ÷ 216
    48766 ÷ 65536     		y = 0.744110107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775543212890625 × 2 - 1) × π
    0.55108642578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73128907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744110107421875 × 2 - 1) × π
    -0.48822021484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.53378904024332
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73128907} λ = 1.73128907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53378904024332))-π/2
    2×atan(0.215716757379531)-π/2
    2×0.212461148152397-π/2
    0.424922296304795-1.57079632675     		φ = -1.14587403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73128907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.195557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14587403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.653746°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50826 KachelY 48766 1.73128907 -1.14587403 99.195557 -65.653746
    Oben rechts KachelX + 1 50827 KachelY 48766 1.73138494 -1.14587403 99.201050 -65.653746
    Unten links KachelX 50826 KachelY + 1 48767 1.73128907 -1.14591355 99.195557 -65.656010
    Unten rechts KachelX + 1 50827 KachelY + 1 48767 1.73138494 -1.14591355 99.201050 -65.656010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14587403--1.14591355) × R
    3.95199999998486e-05 × 6371000     		dl = 251.781919999035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14587403--1.14591355) × R
    3.95199999998486e-05 × 6371000     		dr = 251.781919999035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73128907-1.73138494) × cos(-1.14587403) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.412249989869219 × 6371000     		do = 251.797251994738m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73128907-1.73138494) × cos(-1.14591355) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.412213984030512 × 6371000     		du = 251.775260068806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14587403)-sin(-1.14591355))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412249989869219-0.412213984030512)×R²
    abs(1.73138494-1.73128907)×3.600583870772e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.600583870772e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.600583870772e-05×40589641000000     		ar = 63395.2269812818m²