Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50825 / 48266
↖ ↑ ↗
← S 64.496456°
E 99.190063°		 ← 263.01 m → S 64.496456°
E 99.195557°		 →
↑
262.99 m
↓
↑
262.99 m
↓
S 64.498821°
E 99.190063°		 ← 262.99 m →
69 168 m²		 S 64.498821°
E 99.195557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775535583496094 y=0.736488342285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775535583496094 × 216)
    floor (0.775535583496094 × 65536)
    floor (50825.5)     		tx = 50825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736488342285156 × 216)
    floor (0.736488342285156 × 65536)
    floor (48266.5)     		ty = 48266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50825 / 48266 ti = "16/50825/48266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50825/48266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50825 ÷ 216
    50825 ÷ 65536     		x = 0.775527954101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48266 ÷ 216
    48266 ÷ 65536     		y = 0.736480712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775527954101562 × 2 - 1) × π
    0.551055908203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73119319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736480712890625 × 2 - 1) × π
    -0.47296142578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.48585214062326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73119319} λ = 1.73119319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48585214062326))-π/2
    2×atan(0.226309411043978)-π/2
    2×0.22256040858974-π/2
    0.445120817179479-1.57079632675     		φ = -1.12567551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73119319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.190063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12567551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.496456°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50825 KachelY 48266 1.73119319 -1.12567551 99.190063 -64.496456
    Oben rechts KachelX + 1 50826 KachelY 48266 1.73128907 -1.12567551 99.195557 -64.496456
    Unten links KachelX 50825 KachelY + 1 48267 1.73119319 -1.12571679 99.190063 -64.498821
    Unten rechts KachelX + 1 50826 KachelY + 1 48267 1.73128907 -1.12571679 99.195557 -64.498821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12567551--1.12571679) × R
    4.12800000000324e-05 × 6371000     		dl = 262.994880000206m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12567551--1.12571679) × R
    4.12800000000324e-05 × 6371000     		dr = 262.994880000206m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73119319-1.73128907) × cos(-1.12567551) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.430566927686644 × 6371000     		do = 263.012445016876m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73119319-1.73128907) × cos(-1.12571679) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.430529669698638 × 6371000     		du = 262.989685919761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12567551)-sin(-1.12571679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430566927686644-0.430529669698638)×R²
    abs(1.73128907-1.73119319)×3.72579880063562e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.72579880063562e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.72579880063562e-05×40589641000000     		ar = 69167.9336626844m²