Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50824 / 49287
↖ ↑ ↗
← S 66.807058°
E 99.184570°		 ← 240.55 m → S 66.807058°
E 99.190063°		 →
↑
240.57 m
↓
↑
240.57 m
↓
S 66.809221°
E 99.184570°		 ← 240.52 m →
57 865 m²		 S 66.809221°
E 99.190063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775520324707031 y=0.752067565917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775520324707031 × 216)
    floor (0.775520324707031 × 65536)
    floor (50824.5)     		tx = 50824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752067565917969 × 216)
    floor (0.752067565917969 × 65536)
    floor (49287.5)     		ty = 49287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50824 / 49287 ti = "16/50824/49287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50824/49287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50824 ÷ 216
    50824 ÷ 65536     		x = 0.7755126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49287 ÷ 216
    49287 ÷ 65536     		y = 0.752059936523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7755126953125 × 2 - 1) × π
    0.551025390625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73109732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752059936523438 × 2 - 1) × π
    -0.504119873046875 × 3.1415926535     		Φ = -1.58373928964742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73109732} λ = 1.73109732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58373928964742))-π/2
    2×atan(0.205206335860832)-π/2
    2×0.202396603152095-π/2
    0.40479320630419-1.57079632675     		φ = -1.16600312
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73109732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.184570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16600312 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.807058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50824 KachelY 49287 1.73109732 -1.16600312 99.184570 -66.807058
    Oben rechts KachelX + 1 50825 KachelY 49287 1.73119319 -1.16600312 99.190063 -66.807058
    Unten links KachelX 50824 KachelY + 1 49288 1.73109732 -1.16604088 99.184570 -66.809221
    Unten rechts KachelX + 1 50825 KachelY + 1 49288 1.73119319 -1.16604088 99.190063 -66.809221
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16600312--1.16604088) × R
    3.77599999998868e-05 × 6371000     		dl = 240.568959999279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16600312--1.16604088) × R
    3.77599999998868e-05 × 6371000     		dr = 240.568959999279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73109732-1.73119319) × cos(-1.16600312) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.39382868781681 × 6371000     		do = 240.54574599365m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73109732-1.73119319) × cos(-1.16604088) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.39379397915358 × 6371000     		du = 240.524546366636m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16600312)-sin(-1.16604088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39382868781681-0.39379397915358)×R²
    abs(1.73119319-1.73109732)×3.4708663230465e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.4708663230465e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.4708663230465e-05×40589641000000     		ar = 57865.2899663865m²