Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50821 / 49035
↖ ↑ ↗
← S 66.255800°
E 99.168091°		 ← 245.94 m → S 66.255800°
E 99.173584°		 →
↑
245.92 m
↓
↑
245.92 m
↓
S 66.258011°
E 99.168091°		 ← 245.91 m →
60 478 m²		 S 66.258011°
E 99.173584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49035 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775474548339844 y=0.748222351074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775474548339844 × 216)
    floor (0.775474548339844 × 65536)
    floor (50821.5)     		tx = 50821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.748222351074219 × 216)
    floor (0.748222351074219 × 65536)
    floor (49035.5)     		ty = 49035
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50821 / 49035 ti = "16/50821/49035"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50821/49035.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50821 ÷ 216
    50821 ÷ 65536     		x = 0.775466918945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49035 ÷ 216
    49035 ÷ 65536     		y = 0.748214721679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775466918945312 × 2 - 1) × π
    0.550933837890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.73080970
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.748214721679688 × 2 - 1) × π
    -0.496429443359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.55957909223891
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73080970} λ = 1.73080970}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.55957909223891))-π/2
    2×atan(0.210224537720835)-π/2
    2×0.207207238351049-π/2
    0.414414476702098-1.57079632675     		φ = -1.15638185
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73080970} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.168091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.15638185 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.255800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50821 KachelY 49035 1.73080970 -1.15638185 99.168091 -66.255800
    Oben rechts KachelX + 1 50822 KachelY 49035 1.73090557 -1.15638185 99.173584 -66.255800
    Unten links KachelX 50821 KachelY + 1 49036 1.73080970 -1.15642045 99.168091 -66.258011
    Unten rechts KachelX + 1 50822 KachelY + 1 49036 1.73090557 -1.15642045 99.173584 -66.258011
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.15638185--1.15642045) × R
    3.85999999998887e-05 × 6371000     		dl = 245.920599999291m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.15638185--1.15642045) × R
    3.85999999998887e-05 × 6371000     		dr = 245.920599999291m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73080970-1.73090557) × cos(-1.15638185) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.402654039460928 × 6371000     		do = 245.936162843827m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73080970-1.73090557) × cos(-1.15642045) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.402618706564478 × 6371000     		du = 245.914581942796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.15638185)-sin(-1.15642045))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.402654039460928-0.402618706564478)×R²
    abs(1.73090557-1.73080970)×3.53328964503019e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.53328964503019e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.53328964503019e-05×40589641000000     		ar = 60478.1151416343m²