Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50820 / 49540
↖ ↑ ↗
← S 67.348325°
E 99.162597°		 ← 235.26 m → S 67.348325°
E 99.168091°		 →
↑
235.22 m
↓
↑
235.22 m
↓
S 67.350440°
E 99.162597°		 ← 235.24 m →
55 334 m²		 S 67.350440°
E 99.168091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775459289550781 y=0.755928039550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775459289550781 × 216)
    floor (0.775459289550781 × 65536)
    floor (50820.5)     		tx = 50820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755928039550781 × 216)
    floor (0.755928039550781 × 65536)
    floor (49540.5)     		ty = 49540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50820 / 49540 ti = "16/50820/49540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50820/49540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50820 ÷ 216
    50820 ÷ 65536     		x = 0.77545166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49540 ÷ 216
    49540 ÷ 65536     		y = 0.75592041015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77545166015625 × 2 - 1) × π
    0.5509033203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73071382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75592041015625 × 2 - 1) × π
    -0.5118408203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.60799536085516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73071382} λ = 1.73071382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.60799536085516))-π/2
    2×atan(0.200288718511392)-π/2
    2×0.197673158382966-π/2
    0.395346316765932-1.57079632675     		φ = -1.17545001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73071382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.162597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17545001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.348325°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50820 KachelY 49540 1.73071382 -1.17545001 99.162597 -67.348325
    Oben rechts KachelX + 1 50821 KachelY 49540 1.73080970 -1.17545001 99.168091 -67.348325
    Unten links KachelX 50820 KachelY + 1 49541 1.73071382 -1.17548693 99.162597 -67.350440
    Unten rechts KachelX + 1 50821 KachelY + 1 49541 1.73080970 -1.17548693 99.168091 -67.350440
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17545001--1.17548693) × R
    3.69199999998848e-05 × 6371000     		dl = 235.217319999266m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17545001--1.17548693) × R
    3.69199999998848e-05 × 6371000     		dr = 235.217319999266m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73071382-1.73080970) × cos(-1.17545001) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.385127814937679 × 6371000     		do = 235.255895743693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73071382-1.73080970) × cos(-1.17548693) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.385093742564257 × 6371000     		du = 235.235082583961m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17545001)-sin(-1.17548693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385127814937679-0.385093742564257)×R²
    abs(1.73080970-1.73071382)×3.40723734225667e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.40723734225667e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.40723734225667e-05×40589641000000     		ar = 55333.8135093771m²