Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50820 / 49301
↖ ↑ ↗
← S 66.837326°
E 99.162597°		 ← 240.27 m → S 66.837326°
E 99.168091°		 →
↑
240.25 m
↓
↑
240.25 m
↓
S 66.839487°
E 99.162597°		 ← 240.25 m →
57 723 m²		 S 66.839487°
E 99.168091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775459289550781 y=0.752281188964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775459289550781 × 216)
    floor (0.775459289550781 × 65536)
    floor (50820.5)     		tx = 50820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752281188964844 × 216)
    floor (0.752281188964844 × 65536)
    floor (49301.5)     		ty = 49301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50820 / 49301 ti = "16/50820/49301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50820/49301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50820 ÷ 216
    50820 ÷ 65536     		x = 0.77545166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49301 ÷ 216
    49301 ÷ 65536     		y = 0.752273559570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77545166015625 × 2 - 1) × π
    0.5509033203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73071382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752273559570312 × 2 - 1) × π
    -0.504547119140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.58508152283678
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73071382} λ = 1.73071382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58508152283678))-π/2
    2×atan(0.204931085872332)-π/2
    2×0.202132461174128-π/2
    0.404264922348255-1.57079632675     		φ = -1.16653140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73071382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.162597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16653140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.837326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50820 KachelY 49301 1.73071382 -1.16653140 99.162597 -66.837326
    Oben rechts KachelX + 1 50821 KachelY 49301 1.73080970 -1.16653140 99.168091 -66.837326
    Unten links KachelX 50820 KachelY + 1 49302 1.73071382 -1.16656911 99.162597 -66.839487
    Unten rechts KachelX + 1 50821 KachelY + 1 49302 1.73080970 -1.16656911 99.168091 -66.839487
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16653140--1.16656911) × R
    3.77099999999686e-05 × 6371000     		dl = 240.2504099998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16653140--1.16656911) × R
    3.77099999999686e-05 × 6371000     		dr = 240.2504099998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73071382-1.73080970) × cos(-1.16653140) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.393343046436131 × 6371000     		do = 240.274182063062m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73071382-1.73080970) × cos(-1.16656911) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.393308375892384 × 6371000     		du = 240.253003510102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16653140)-sin(-1.16656911))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393343046436131-0.393308375892384)×R²
    abs(1.73080970-1.73071382)×3.46705437462291e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.46705437462291e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.46705437462291e-05×40589641000000     		ar = 57723.4266816978m²