Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50820 / 48244
↖ ↑ ↗
← S 64.444372°
E 99.162597°		 ← 263.51 m → S 64.444372°
E 99.168091°		 →
↑
263.50 m
↓
↑
263.50 m
↓
S 64.446742°
E 99.162597°		 ← 263.49 m →
69 434 m²		 S 64.446742°
E 99.168091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775459289550781 y=0.736152648925781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775459289550781 × 216)
    floor (0.775459289550781 × 65536)
    floor (50820.5)     		tx = 50820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736152648925781 × 216)
    floor (0.736152648925781 × 65536)
    floor (48244.5)     		ty = 48244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50820 / 48244 ti = "16/50820/48244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50820/48244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50820 ÷ 216
    50820 ÷ 65536     		x = 0.77545166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48244 ÷ 216
    48244 ÷ 65536     		y = 0.73614501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.77545166015625 × 2 - 1) × π
    0.5509033203125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73071382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73614501953125 × 2 - 1) × π
    -0.4722900390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48374291703998
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73071382} λ = 1.73071382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48374291703998))-π/2
    2×atan(0.226787251950373)-π/2
    2×0.223014921977474-π/2
    0.446029843954949-1.57079632675     		φ = -1.12476648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73071382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.162597°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12476648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.444372°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50820 KachelY 48244 1.73071382 -1.12476648 99.162597 -64.444372
    Oben rechts KachelX + 1 50821 KachelY 48244 1.73080970 -1.12476648 99.168091 -64.444372
    Unten links KachelX 50820 KachelY + 1 48245 1.73071382 -1.12480784 99.162597 -64.446742
    Unten rechts KachelX + 1 50821 KachelY + 1 48245 1.73080970 -1.12480784 99.168091 -64.446742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12476648--1.12480784) × R
    4.13599999999903e-05 × 6371000     		dl = 263.504559999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12476648--1.12480784) × R
    4.13599999999903e-05 × 6371000     		dr = 263.504559999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73071382-1.73080970) × cos(-1.12476648) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.431387202568955 × 6371000     		do = 263.513511142133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73071382-1.73080970) × cos(-1.12480784) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.431349888577785 × 6371000     		du = 263.490717835402m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12476648)-sin(-1.12480784))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431387202568955-0.431349888577785)×R²
    abs(1.73080970-1.73071382)×3.73139911702403e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.73139911702403e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.73139911702403e-05×40589641000000     		ar = 69434.0087475046m²