Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50819 / 48770
↖ ↑ ↗
← S 65.662803°
E 99.157104°		 ← 251.71 m → S 65.662803°
E 99.162597°		 →
↑
251.72 m
↓
↑
251.72 m
↓
S 65.665066°
E 99.157104°		 ← 251.69 m →
63 357 m²		 S 65.665066°
E 99.162597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775444030761719 y=0.744178771972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775444030761719 × 216)
    floor (0.775444030761719 × 65536)
    floor (50819.5)     		tx = 50819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744178771972656 × 216)
    floor (0.744178771972656 × 65536)
    floor (48770.5)     		ty = 48770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50819 / 48770 ti = "16/50819/48770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50819/48770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50819 ÷ 216
    50819 ÷ 65536     		x = 0.775436401367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48770 ÷ 216
    48770 ÷ 65536     		y = 0.744171142578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775436401367188 × 2 - 1) × π
    0.550872802734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.73061795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744171142578125 × 2 - 1) × π
    -0.48834228515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.53417253544028
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73061795} λ = 1.73061795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53417253544028))-π/2
    2×atan(0.215634046899722)-π/2
    2×0.212382114015004-π/2
    0.424764228030008-1.57079632675     		φ = -1.14603210
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73061795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.157104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14603210 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.662803°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50819 KachelY 48770 1.73061795 -1.14603210 99.157104 -65.662803
    Oben rechts KachelX + 1 50820 KachelY 48770 1.73071382 -1.14603210 99.162597 -65.662803
    Unten links KachelX 50819 KachelY + 1 48771 1.73061795 -1.14607161 99.157104 -65.665066
    Unten rechts KachelX + 1 50820 KachelY + 1 48771 1.73071382 -1.14607161 99.162597 -65.665066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14603210--1.14607161) × R
    3.95099999999093e-05 × 6371000     		dl = 251.718209999422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14603210--1.14607161) × R
    3.95099999999093e-05 × 6371000     		dr = 251.718209999422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73061795-1.73071382) × cos(-1.14603210) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.412105971763122 × 6371000     		do = 251.709287496875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73061795-1.73071382) × cos(-1.14607161) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.412069972461203 × 6371000     		du = 251.687299563534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14603210)-sin(-1.14607161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412105971763122-0.412069972461203)×R²
    abs(1.73071382-1.73061795)×3.59993019187765e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.59993019187765e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.59993019187765e-05×40589641000000     		ar = 63357.0439152711m²