Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50817 / 48769
↖ ↑ ↗
← S 65.660539°
E 99.146118°		 ← 251.76 m → S 65.660539°
E 99.151612°		 →
↑
251.72 m
↓
↑
251.72 m
↓
S 65.662803°
E 99.146118°		 ← 251.74 m →
63 369 m²		 S 65.662803°
E 99.151612°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50817 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775413513183594 y=0.744163513183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775413513183594 × 216)
    floor (0.775413513183594 × 65536)
    floor (50817.5)     		tx = 50817
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.744163513183594 × 216)
    floor (0.744163513183594 × 65536)
    floor (48769.5)     		ty = 48769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50817 / 48769 ti = "16/50817/48769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50817/48769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50817 ÷ 216
    50817 ÷ 65536     		x = 0.775405883789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48769 ÷ 216
    48769 ÷ 65536     		y = 0.744155883789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775405883789062 × 2 - 1) × π
    0.550811767578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73042620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.744155883789062 × 2 - 1) × π
    -0.488311767578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.53407666164104
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73042620} λ = 1.73042620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.53407666164104))-π/2
    2×atan(0.215654721546106)-π/2
    2×0.212401869960522-π/2
    0.424803739921045-1.57079632675     		φ = -1.14599259
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73042620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.146118°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14599259 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.660539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50817 KachelY 48769 1.73042620 -1.14599259 99.146118 -65.660539
    Oben rechts KachelX + 1 50818 KachelY 48769 1.73052208 -1.14599259 99.151612 -65.660539
    Unten links KachelX 50817 KachelY + 1 48770 1.73042620 -1.14603210 99.146118 -65.662803
    Unten rechts KachelX + 1 50818 KachelY + 1 48770 1.73052208 -1.14603210 99.151612 -65.662803
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14599259--1.14603210) × R
    3.95099999999093e-05 × 6371000     		dl = 251.718209999422m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14599259--1.14603210) × R
    3.95099999999093e-05 × 6371000     		dr = 251.718209999422m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73042620-1.73052208) × cos(-1.14599259) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.412141970421727 × 6371000     		do = 251.757532602646m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73042620-1.73052208) × cos(-1.14603210) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.412105971763122 × 6371000     		du = 251.735542768759m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14599259)-sin(-1.14603210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.412141970421727-0.412105971763122)×R²
    abs(1.73052208-1.73042620)×3.59986586048189e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.59986586048189e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.59986586048189e-05×40589641000000     		ar = 63369.1878481546m²