Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50816 / 49536
↖ ↑ ↗
← S 67.339861°
E 99.140625°		 ← 235.31 m → S 67.339861°
E 99.146118°		 →
↑
235.28 m
↓
↑
235.28 m
↓
S 67.341977°
E 99.140625°		 ← 235.29 m →
55 363 m²		 S 67.341977°
E 99.146118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.775398254394531 y=0.755867004394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.775398254394531 × 216)
    floor (0.775398254394531 × 65536)
    floor (50816.5)     		tx = 50816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.755867004394531 × 216)
    floor (0.755867004394531 × 65536)
    floor (49536.5)     		ty = 49536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50816 / 49536 ti = "16/50816/49536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50816/49536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50816 ÷ 216
    50816 ÷ 65536     		x = 0.775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49536 ÷ 216
    49536 ÷ 65536     		y = 0.755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.775390625 × 2 - 1) × π
    0.55078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.73033033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.755859375 × 2 - 1) × π
    -0.51171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6076118656582
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.73033033} λ = 1.73033033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6076118656582))-π/2
    2×atan(0.200365543002917)-π/2
    2×0.197747018785645-π/2
    0.39549403757129-1.57079632675     		φ = -1.17530229
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.73033033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 99.140625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17530229 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.339861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50816 KachelY 49536 1.73033033 -1.17530229 99.140625 -67.339861
    Oben rechts KachelX + 1 50817 KachelY 49536 1.73042620 -1.17530229 99.146118 -67.339861
    Unten links KachelX 50816 KachelY + 1 49537 1.73033033 -1.17533922 99.140625 -67.341977
    Unten rechts KachelX + 1 50817 KachelY + 1 49537 1.73042620 -1.17533922 99.146118 -67.341977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17530229--1.17533922) × R
    3.6929999999824e-05 × 6371000     		dl = 235.281029998879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17530229--1.17533922) × R
    3.6929999999824e-05 × 6371000     		dr = 235.281029998879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.73033033-1.73042620) × cos(-1.17530229) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.385264136093535 × 6371000     		do = 235.314622545542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.73033033-1.73042620) × cos(-1.17533922) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.385230056592604 × 6371000     		du = 235.293807203165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17530229)-sin(-1.17533922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.385264136093535-0.385230056592604)×R²
    abs(1.73042620-1.73033033)×3.4079500930706e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.4079500930706e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.4079500930706e-05×40589641000000     		ar = 55362.6180447922m²