Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50815 / 82280
↖ ↑ ↗
← S 41.722131°
W 40.432434°		 ← 227.96 m → S 41.722131°
W 40.429687°		 →
↑
227.95 m
↓
↑
227.95 m
↓
S 41.724181°
W 40.432434°		 ← 227.96 m →
51 965 m²		 S 41.724181°
W 40.429687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.387691497802734 y=0.627750396728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.387691497802734 × 217)
    floor (0.387691497802734 × 131072)
    floor (50815.5)     		tx = 50815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627750396728516 × 217)
    floor (0.627750396728516 × 131072)
    floor (82280.5)     		ty = 82280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50815 / 82280 ti = "17/50815/82280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50815/82280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50815 ÷ 217
    50815 ÷ 131072     		x = 0.387687683105469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82280 ÷ 217
    82280 ÷ 131072     		y = 0.62774658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.387687683105469 × 2 - 1) × π
    -0.224624633789062 × 3.1415926535     		Λ = -0.70567910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62774658203125 × 2 - 1) × π
    -0.2554931640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.80265544723822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.70567910} λ = -0.70567910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.80265544723822))-π/2
    2×atan(0.448137377558219)-π/2
    2×0.421303888577273-π/2
    0.842607777154547-1.57079632675     		φ = -0.72818855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.70567910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -40.432434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72818855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.722131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50815 KachelY 82280 -0.70567910 -0.72818855 -40.432434 -41.722131
    Oben rechts KachelX + 1 50816 KachelY 82280 -0.70563116 -0.72818855 -40.429687 -41.722131
    Unten links KachelX 50815 KachelY + 1 82281 -0.70567910 -0.72822433 -40.432434 -41.724181
    Unten rechts KachelX + 1 50816 KachelY + 1 82281 -0.70563116 -0.72822433 -40.429687 -41.724181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72818855--0.72822433) × R
    3.57799999999298e-05 × 6371000     		dl = 227.954379999552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72818855--0.72822433) × R
    3.57799999999298e-05 × 6371000     		dr = 227.954379999552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.70567910--0.70563116) × cos(-0.72818855) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.746381180095463 × 6371000     		do = 227.964024252581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.70567910--0.70563116) × cos(-0.72822433) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.746357367358783 × 6371000     		du = 227.956751229859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72818855)-sin(-0.72822433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746381180095463-0.746357367358783)×R²
    abs(-0.70563116--0.70567910)×2.38127366799512e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38127366799512e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38127366799512e-05×40589641000000     		ar = 51964.5688574631m²